Question

10．記函數(shù)f（x）=log₂（2x-5）的定義域為集合A，函數(shù)g（x）=$\sqrt{（x-3）（x-1）}$的定義域為集合B，集合C={x|a＜x＜2a-1}
（1）求集合A∪B，A∩∁RB；
（2）若B∩C=∅，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）分別由對數(shù)式的真數(shù)大于0，根式內(nèi)部的代數(shù)式大于等于0求得x的取值集合化簡A，B，然后利用交、并、補集的混合運算得答案；
（2）由B∩C=∅，分C為空集和非空討論，當C非空時，結合兩集合端點值間的關系得答案．

解答 解：由2x-5＞0，得x$＞\frac{5}{2}$，∴A={x|x$＞\frac{5}{2}$}，
由（x-3）（x-1）≥0，得x≤1或x≥3，∴B={x|x≤1或x≥3}．
（1）A∪B={x|x$＞\frac{5}{2}$}∪{x|x≤1或x≥3}=（-∞，1]∪（$\frac{5}{2}，+∞$）；
∁_RB=（1，3），∴A∩∁_RB=（$\frac{5}{2}，+∞$）∩（1，3）=（$\frac{5}{2}，3$）；
（2）∵C={x|a＜x＜2a-1}，
當a≥2a-1，即a≤1時，C=∅，滿足B∩C=∅；
當a＜2a-1，即a＞1時，若B∩C=∅，則$\left\{\begin{array}{l}{a≥1}\\{2a-1≤3}\end{array}\right.$，即1＜a≤2．
綜上，a≤2．
故使B∩C=∅的實數(shù)a的取值范圍是（-∞，2]．

點評 本題考查函數(shù)定義域的求法，考查了交、并、補集的混合運算，是基礎題．