Question

函數(shù)f（x）=x³-3ax-1，a≠0，
（Ⅰ）當a=2求f（x）在（1，f（1））處的切線方程；
（Ⅱ）若f（x）在x=-1處取得極值，關(guān)于x的方程f（x）=m有3個不同實根，求實數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

考點：利用導數(shù)研究函數(shù)的極值,利用導數(shù)研究曲線上某點切線方程

專題：綜合題,導數(shù)的綜合應用

分析：（Ⅰ）求導函數(shù)，可得切線斜率，求出切點坐標，即可求出函數(shù)y=f（x）圖象在點（1，f（1））處的切線方程；
（Ⅱ）由f（x）在x=-1處取得極值，結(jié)合圖象求出方程f（x）=m有三個不等的實根時m的取值范圍．

解答： 解：（Ⅰ）∵a=2，f（x）=x³-6x-1，
∴f′（x）=3（x²-2），f（1）=-6，
∴f′（1）=-3，
∴f（x）在（1，f（1））處的切線方程為y+6=-3（x-1），
即3x+y+3=0；
（Ⅱ）∵f（x）的導數(shù)是f′（x）=3x²-3a=3（x²-a），
且f（x）在x=-1處取得極值，
∴3[（-1）²-a]=0，∴a=1；
∴f′（x）=3（x+1）（x-1）；
由（1）知，當x=-1時，f（x）有極大值1；
當x=1時，f（x）有極小值-3；如圖，
方程f（x）=m有三個不等的實根時，-3＜m＜1；
∴m的取值范圍是{m|-3＜m＜1}．

點評：考查學生利用導數(shù)研究函數(shù)極值的能力，以及利用導數(shù)研究曲線上某點的切線方程的能力，屬于中檔題．