Question

9．如圖，已知MA為⊙O的切線，A為切點(diǎn)，△ABC是⊙O的內(nèi)接三角形，MB交AC于D，交⊙O于E，若MA=MD，∠ABC=60°，ME=1，MB=9，則DC=4．

Answer 1

分析 利用切割線定理結(jié)合題中所給數(shù)據(jù)，得MA=3，由弦切角定理結(jié)合有一個(gè)角為60°的等腰三角形是正三角形，得到AD=MD=MA=3，最后由相交弦定理可得BD•DE=AD•CD，從而求出CD的長(zhǎng)．

解答 解：∵M(jìn)A是圓O的切線，
∴MA²=ME•MB=9，可得MA=3，
∵∠MAC是弦切角，夾弧AEC，
∴∠MAC=∠ABC=60°，
∵△MAD中，MA=MD，
∴△MAD是正三角形，可得AD=MD=MA=3，
∴BD=MB-MD=6，ME=MD-ED=2，
∵圓O中，弦AC、BE相交于D，
∴BD•DE=AD•CD，可得6×2=3CD，
∴CD=4，
故答案為：4．

點(diǎn)評(píng) 本題在圓中給出切線，并且以切線長(zhǎng)為一邊作正三角形的情況下，求線段的長(zhǎng)度．著重考查了切線的性質(zhì)、正三角形的判定和相交弦定理等知識(shí)，屬于中檔題．