Question

1．已知橢圓E的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)O，它的長軸長，短軸長分別為2a，2$\sqrt{2}$，右焦點(diǎn)F（c，0），直線l：cx-a²=0與x軸相交于點(diǎn)A，$\overrightarrow{OF}=2\overrightarrow{FA}$，過點(diǎn)A的直線m與橢圓E交于P，Q兩點(diǎn)．
（Ⅰ）求橢圓E的方程；
（Ⅱ）若以線段PQ為直徑的圓過原點(diǎn)O，求直線m的方程；
（Ⅲ）設(shè)$\overrightarrow{AP}=λ\overrightarrow{AQ}（{λ＞1}）$，過點(diǎn)P且平行于直線l的直線與橢圓E相交于另一點(diǎn)M，求證：$\overrightarrow{FM}=-λ\overrightarrow{FQ}$．

Answer 1

分析 （Ⅰ）設(shè)橢圓的方程為$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{2}$=1（a＞$\sqrt{2}$），由已知解得a=$\sqrt{6}$，c=2，所以橢圓的方程為$\frac{{x}^{2}}{6}$+$\frac{{y}^{2}}{2}$=1；
（Ⅱ）由（Ⅱ）可得A（3，0），設(shè)直線PQ的方程為y=k（x-3），代入橢圓方程得（3k²+1）x²-18k²x+27k²-6=0．依題意△=12（2-3k²）＞0，得-$\frac{\sqrt{6}}{3}$＜k＜$\frac{\sqrt{6}}{3}$．設(shè)P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），然后由根與系數(shù)的位置關(guān)系可知直線PQ的方程為x-$\sqrt{5}$y-3=0或x+$\sqrt{5}$y-3=0；
（Ⅲ）運(yùn)用向量的共線的坐標(biāo)運(yùn)算和韋達(dá)定理，計(jì)算化簡即可得證．

解答 （Ⅰ）解：由題意，可設(shè)橢圓的方程為$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{2}$=1（a＞$\sqrt{2}$），
由已知得$\left\{\begin{array}{l}{{a}^{2}-{c}^{2}=2}\\{c=2（\frac{{a}^{2}}{c}-c）}\end{array}\right.$解得a=$\sqrt{6}$，c=2，
所以橢圓的方程為$\frac{{x}^{2}}{6}$+$\frac{{y}^{2}}{2}$=1；
（Ⅱ）解：由（Ⅰ）可得A（3，0），
設(shè)直線PQ的方程為y=k（x-3），
代入橢圓方程得（3k²+1）x²-18k²x+27k²-6=0，
依題意△=12（2-3k²）＞0，得-$\frac{\sqrt{6}}{3}$＜k＜$\frac{\sqrt{6}}{3}$，
設(shè)P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂）
則x₁+x₂=$\frac{18{k}^{2}}{1+3{k}^{2}}$①x₁x₂=$\frac{27{k}^{2}-6}{1+3{k}^{2}}$②
由直線PQ的方程得y₁=k（x₁-3），y₂=k（x₂-3）
于是y₁y₂=k²（x₁-3）（x₂-3）=k²[x₁x₂-3（x₁+x₂）+9]③
以線段PQ為直徑的圓過原點(diǎn)O，則有$\overrightarrow{OP}$⊥$\overrightarrow{OQ}$，
∴x₁x₂+y₁y₂=0④
由①②③④得5k²=1，從而k=±$\frac{\sqrt{5}}{5}$，
所以直線m的方程為x-$\sqrt{5}$y-3=0或x+$\sqrt{5}$y-3=0；
（Ⅲ）證明：由（Ⅱ）可知x₁+x₂=$\frac{18{k}^{2}}{1+3{k}^{2}}$，x₁x₂=$\frac{27{k}^{2}-6}{1+3{k}^{2}}$，
由$\overrightarrow{AP}=λ\overrightarrow{AQ}（{λ＞1}）$，
即有（x₁-3，y₁）=λ（x₂-3，y₂）
即x₁-3=λ（x₂-3），y₁=λy₂，
設(shè)M（x₁，y₀），即有x₁²+3y₀²=6，
即有y₀=-y₁，
F（2，0），$\overrightarrow{FM}$=（x₁-2，-y₁），$\overrightarrow{FQ}$=（x₂-2，y₂），
即有y₁+λy₂=0，
由于λ=$\frac{{x}_{1}-3}{{x}_{2}-3}$，$\frac{{x}_{1}-3}{{x}_{2}-3}$+$\frac{{x}_{1}-2}{{x}_{2}-2}$=0等價(jià)為
2x₁x₂+12-5（x₁+x₂）=0，
由韋達(dá)定理代入可得
$\frac{54{k}^{2}-12}{1+3{k}^{2}}$+12-$\frac{90{k}^{2}}{1+3{k}^{2}}$=0，
則有（x₁-2）+λ（x₂-2）=0，
故有$\overrightarrow{FM}=-λ\overrightarrow{FQ}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查橢圓的方程和性質(zhì)，主要考查橢圓方程的運(yùn)用，注意聯(lián)立直線方程，運(yùn)用韋達(dá)定理，同時(shí)考查向量的共線的坐標(biāo)運(yùn)算，屬于中檔題和易錯(cuò)題．