Question

2．定義：如果函數(shù)f（x）在[a，b]上存在x₁，x₂（a＜x₁＜x₂＜b）滿(mǎn)足f′（x₁）=$\frac{f（b）-f（a）}{b-a}$，f′（x₂）$\frac{f（b）-f（a）}{b-a}$，則稱(chēng)函數(shù)f（x）是[a，b]上的“雙中值函數(shù)”．已知函數(shù)f（x）=x³-x²+a是[0，a]上“雙中值函數(shù)”，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（　�。�

• A． （$\frac{1}{3}$，$\frac{1}{2}$）
• B． （0，1）
• C． （$\frac{1}{3}$，1）
• D． （$\frac{1}{2}$，1）

Answer 1

分析 由新定義可知f′（x₁）=f′（x₂）=a²-a，即方程3x²-2x=a²-a在區(qū)間（0，a）有兩個(gè)解，利用二次函數(shù)的性質(zhì)可知實(shí)數(shù)a的取值范圍

解答 解：由題意可知，
在區(qū)間[0，a]存在x₁，x₂（0＜x₁＜x₂＜a），
滿(mǎn)足f′（x₁）=$\frac{f（a）-f（0）}{a-0}$=$\frac{{a}^{3}-{a}^{2}+a-a}{a}$=a²-a，
∵f（x）=x³-x²+a，
∴f′（x）=3x²-2x，
∴方程3x²-2x=a²-a在區(qū)間（0，a）有兩個(gè)解．
令g（x）=3x²-2x-a²+a，（0＜x＜a），
∴$\left\{\begin{array}{l}{△=4-12（-{a}^{2}+a）＞0}\\{g（0）=-{a}^{2}+a＞0}\\{g（a）=2{a}^{2}-a＞0}\\{a＞0}\end{array}\right.$
解得$\frac{1}{2}$＜a＜1，
故選：D．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了導(dǎo)數(shù)的幾何意義，二次函數(shù)的性質(zhì)與方程根的關(guān)系，屬于中檔題