Question

14．已知函數(shù)f（x）=cos⁴x-2sinxcosx-sin⁴x．
（1）求y=lnf（x）的單調(diào)增區(qū)間；
（2）求f（x）的最小值以及相應(yīng)的x的集合．

Answer 1

分析 f（x）解析式利用二倍角的正弦、余弦函數(shù)公式化簡(jiǎn)，整理為一個(gè)角的余弦函數(shù)，
（1）由y=lnx為增函數(shù)，找出余弦函數(shù)增區(qū)間即可；
（2）根據(jù)余弦函數(shù)的值域確定出f（x）的最小值，以及此時(shí)x的集合即可．

解答 解：f（x）=cos⁴x-2sinxcosx-sin⁴x=cos⁴x-sin⁴x-2sinxcosx=cos2x-sin2x=$\sqrt{2}$cos（2x+$\frac{π}{4}$），
（1）y=lnf（x）=ln[$\sqrt{2}$cos（2x+$\frac{π}{4}$）]，
令2kπ-$\frac{π}{2}$≤2x+$\frac{π}{4}$≤2kπ，k∈Z，
解得：kπ-$\frac{3π}{8}$≤x≤kπ-$\frac{π}{8}$，k∈Z，
則y=lnf（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為[kπ-$\frac{3π}{8}$，kπ-$\frac{π}{8}$]，k∈Z；
（2）∵-1≤cos（2x+$\frac{π}{4}$）≤1，
∴-$\sqrt{2}$≤$\sqrt{2}$cos（2x+$\frac{π}{4}$）≤$\sqrt{2}$，
則f（x）的最小值為-$\sqrt{2}$，相應(yīng)的x的集合為{x|x=kπ+$\frac{3π}{8}$，k∈Z}．

點(diǎn)評(píng) 此題考查了余弦函數(shù)的值域，函數(shù)的單調(diào)性，以及二倍角的正弦、余弦函數(shù)公式，熟練掌握公式是解本題的關(guān)鍵．