Question

10．已知函數(shù)f（x）=2sin（ωx+$\frac{π}{3}$）在[-$\frac{2}{3}$π，$\frac{2}{3}$π]上單調(diào)遞增，求ω的最大值．

Answer 1

分析 根據(jù)三角函數(shù)的單調(diào)性求出函數(shù)的遞增求解，結(jié)合函數(shù)單調(diào)區(qū)間端點(diǎn)之間的關(guān)系進(jìn)行求解即可．

解答 解：函數(shù)f（x）=2sin（ωx+$\frac{π}{3}$）在[-$\frac{2}{3}$π，$\frac{2}{3}$π]上單調(diào)遞，可得ω＞0
由2kπ-$\frac{π}{2}$≤ωx+$\frac{π}{3}$≤2kπ+$\frac{π}{2}$，k∈Z，
得$\frac{2kπ}{ω}$-$\frac{5π}{6ω}$≤x≤$\frac{2kπ}{ω}$+$\frac{π}{6ω}$，（ω＞0）
∵函數(shù)f（x）=2sin（ωx+$\frac{π}{3}$）在[-$\frac{2}{3}$π，$\frac{2}{3}$π]上單調(diào)遞增，
∴當(dāng)k=0時(shí)，函數(shù)的遞增區(qū)間為-$\frac{5π}{6ω}$≤x≤$\frac{π}{6ω}$，
則滿足$\left\{\begin{array}{l}{\frac{π}{6ω}≥\frac{2π}{3}}\\{-\frac{5π}{6ω}≤-\frac{2π}{3}}\end{array}\right.$，
即$\left\{\begin{array}{l}{ω≤\frac{1}{4}}\\{ω≤\frac{5}{4}}\end{array}\right.$，即0＜ω≤$\frac{1}{4}$，
故ω的最大值為$\frac{1}{4}$．

點(diǎn)評 本題主要考查三角函數(shù)單調(diào)性和單調(diào)區(qū)間的求解，根據(jù)條件建立不等式關(guān)系是解決本題的關(guān)鍵．