Question

11．已知向量$\overrightarrow{m}$=（2sinx，-1），$\overrightarrow{n}$=（sinx-$\sqrt{3}$cosx，-2），函數(shù)f（x）=（$\overrightarrow{m}$-$\overrightarrow{n}$）•$\overrightarrow{m}$+t．
（Ⅰ）若f（x）在區(qū)間[-$\frac{π}{2}$，$\frac{π}{2}$]上有三個零點(diǎn)，求t的值；
（Ⅱ）在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，a=4，△ABC的面積S=$\sqrt{3}$，若f（A）=2，且t=0，求b+c的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用向量的數(shù)量積運(yùn)算，結(jié)合二倍角、輔助角公式化簡函數(shù)，利用f（x）在區(qū)間[-$\frac{π}{2}$，$\frac{π}{2}$]上有三個零點(diǎn)，即f（x）在[-$\frac{π}{2}$，$\frac{π}{2}$]的圖象與x軸有三個不同的交點(diǎn)，即可求t的值；
（Ⅱ）先求出A，利用三角形ABC的面積S=$\sqrt{3}$，結(jié)合余弦定理，求b+c的值．

解答 解：（Ⅰ）f（x）=（$\overrightarrow{m}$-$\overrightarrow{n}$）•$\overrightarrow{m}$+t=（sinx+$\sqrt{3}$cosx，-1）•（2sinx，-1）+t
=2$\sqrt{3}$sinxcos+2sin²x=1+t=$\sqrt{3}$sin2x-cos2x+t=2sin（2x-$\frac{π}{6}$）+t，…（3分）
因?yàn)閤∈[-$\frac{π}{2}$，$\frac{π}{2}$]，所以-$\frac{7π}{6}$≤2x-$\frac{π}{6}$≤$\frac{5π}{6}$，…（4分）．
因?yàn)閒（x）在區(qū)間[-$\frac{π}{2}$，$\frac{π}{2}$]上有三個零點(diǎn)，即f（x）在[-$\frac{π}{2}$，$\frac{π}{2}$]的圖象與x軸有三個不同的交點(diǎn)，
所以t=-1，…．（6分）
（Ⅱ）根據(jù)題意f（A）=2且t=0，即sin（2A-$\frac{π}{6}$）=1，所以2A-$\frac{π}{6}$=2kπ+$\frac{π}{2}$（k∈Z），
因?yàn)?＜A＜π，所以A=$\frac{π}{3}$．
因?yàn)镾=$\frac{1}{2}bcsinA$=$\frac{\sqrt{3}}{4}$bc=$\sqrt{3}$，所以bc=4，
根據(jù)余弦定理得16=b²+c²-bc，
所以（b+c）²=16+3bc=28，所以b+c=2$\sqrt{7}$． （12分）

點(diǎn)評 本題考查向量的數(shù)量積運(yùn)算，考查余弦定理，考查三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．