【題目】如圖，在三棱錐中，是等邊三角形，，，為三棱錐外一點，且為等邊三角形．

證明：；

若平面平面，平面與平面所成銳二面角的余弦值為，求的長．

【答案】證明見解析；.

【解析】

取的中點，連接，，證明平面，可得到結論；

以為原點，為軸，為軸，為軸建立空間直角坐標系，求出平面和平面的法向量，利用夾角公式求出二面角的余弦值，得出結論.

解：取的中點，連接，，

因為是等邊三角形，所以，

又因為，所以，

因為，所以平面，

因為平面，故．

因為平面平面，

平面平面，

所以平面，

且，，

故以為原點，為軸，為軸，為軸建立空間直角坐標系，

取的中點，連接，，

同理可證平面，，，

設，

則，，，，

所以，，

設平面的一個法向量為，

則，

，

令，則．

因為平面的一個法向量為，

所以，

所以，，

所以或．

因為為三棱錐外一點，

所以，

所以．

練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知拋物線的焦點為F，過F的直線與拋物線交于A，B兩點，點O為坐標原點，則下列命題中正確的個數(shù)為（ ）

①面積的最小值為4；

②以為直徑的圓與x軸相切；

③記，，的斜率分別為，，，則；

④過焦點F作y軸的垂線與直線，分別交于點M，N，則以為直徑的圓恒過定點.

A.1B.2C.3D.4

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù)．

⑴當時，求函數(shù)的極值；

⑵若存在與函數(shù)，的圖象都相切的直線，求實數(shù)的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】如圖，矩形和菱形所在的平面相互垂直，為的中點．

（1）求證：平面；

（2）若，求三棱錐的體積．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知過橢圓的四個頂點與坐標軸垂直的四條直線圍成的矩形（是第一象限內的點）的面積為，且過橢圓的右焦點的傾斜角為的直線過點．

（1）求橢圓的標準方程

（2）若射線與橢圓的交點分別為．當它們的斜率之積為時，試問的面積是否為定值？若為定值，求出此定值；若不為定值，說明理由．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】某村為了脫貧致富，引進了兩種麻鴨品種，一種是旱養(yǎng)培育的品種，另一種是水養(yǎng)培育的品種．為了了解養(yǎng)殖兩種麻鴨的經(jīng)濟效果情況，從中隨機抽取500只麻鴨統(tǒng)計了它們一個季度的產蛋量（單位：個），制成了如圖的頻率分布直方圖，且已知麻鴨的產蛋量在的頻率為0.66．

（1）求，的值；

（2）已知本次產蛋量近似服從（其中近似為樣本平均數(shù)，似為樣本方差）．若本村約有10000只麻鴨，試估計產蛋量在110~120的麻鴨數(shù)量（以各組區(qū)間的中點值代表該組的取值）．

（3）若以正常產蛋90個為標準，大于90個認為是良種，小于90個認為是次種．根據(jù)統(tǒng)計得出兩種培育方法的列聯(lián)表如下，請完成表格中的統(tǒng)計數(shù)據(jù)，并判斷是否有99.5%的把握認為產蛋量與培育方法有關．

良種

次種

總計

旱養(yǎng)培育

160

260

水養(yǎng)培育

60

總計

340

500

附：，則，，．

，其中．

0.150

0.100

0.050

0.025

0.010

0.005

0.001

2.072

2.706

3.841

5.024

6.635

7.879

10.828

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】中國剪紙是我國廣大勞動人民在生產與生活實踐中創(chuàng)造出來的一種平面剪刻藝術．民間剪紙藝術是我國優(yōu)秀的非物質文化遺產之一，在千百年的發(fā)展過程中，積淀了豐厚的文化歷史，取得了卓越的藝術成就．2020年3月發(fā)行的郵票《中國剪紙（二）》共4枚，第一枚郵票《三娘教子》（如圖1）出自“孟母教子”的故事，講述了母親通過斷織等行為教育孩子努力上進，懂得感恩．圖2是某剪紙藝術家根據(jù)第一枚郵票用一張半徑為4個單位的圓形紙片裁剪而成的《三娘教子》剪紙．為了測算圖2中有關部分的面積，在圓形區(qū)域內隨機投擲400個點，其中落入圖案上的點有225個，據(jù)此可估計剪去部分紙片的面積為（ ）

A.B.C.D.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù)，.

（1）若，當時，證明：；

（2）若當時，，求的取值范圍.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù)的最大值為.

（1）若關于的方程的兩個實數(shù)根為，求證：；

（2）當時，證明函數(shù)在函數(shù)的最小零點處取得極小值.

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