Question

6．已知向量$\overrightarrow{a}$=（cos$\frac{3}{2}$x，sin$\frac{3}{2}$x），$\overrightarrow$=（cos$\frac{x}{2}$，-sin$\frac{x}{2}$），函數(shù)f（x）=$\overrightarrow{a}•\overrightarrow$，g（x）=|$\overrightarrow{a}+\overrightarrow$|，則下列性質(zhì)正確的是（　　）

• A． 函數(shù)f（x）的最小正周期為2π
• B． 函數(shù)g（x）為奇函數(shù)
• C． 函數(shù)f（x）在[0．π]遞減
• D． 函數(shù)g（x）的最大值為2

Answer 1

分析 利用三角函數(shù)的恒等變換和向量的數(shù)量積公式求出f（x）和g（x）的解析式，利用余弦函數(shù)的性質(zhì)進行判斷．

解答 解：f（x）=$\overrightarrow{a}•\overrightarrow$=cos$\frac{3}{2}$xcos$\frac{x}{2}$-sin$\frac{3}{2}$xsin$\frac{x}{2}$=cos2x，
∴f（x）的最小正周期為$\frac{2π}{2}$=π，故A錯誤．
∵f（0）=1，f（π）=1，∴f（x）在[0，π]上不單調(diào)，故C錯誤．
∵$\overrightarrow{a}+\overrightarrow$=（cos$\frac{3}{2}$x+cos$\frac{x}{2}$，sin$\frac{3}{2}$x-sin$\frac{x}{2}$），
∴（$\overrightarrow{a}+\overrightarrow$）²=（cos$\frac{3}{2}$x+cos$\frac{x}{2}$）²+（sin$\frac{3}{2}$x-sin$\frac{x}{2}$）²=2+2cos$\frac{3}{2}$xcos$\frac{x}{2}$-2sin$\frac{3}{2}$xsin$\frac{x}{2}$=2+2cos2x．
∴g（x）=$\sqrt{2+2cos2x}$，
∴g（x）是偶函數(shù)，故B錯誤．
當(dāng)cos2x=1時，g（x）取得最大值2．故D正確．
故選：D．

點評 本題考查了平面向量的數(shù)量積運算，三角函數(shù)的恒等變換，余弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)，屬于中檔題．