Question

在直線l：x+y-5=0上找一點(diǎn)P（x，y），使P對(duì)A（1，0），B（3，0）的視角∠APB最大．

Answer 1

考點(diǎn)：解三角形的實(shí)際應(yīng)用

專題：綜合題,不等式的解法及應(yīng)用

分析：設(shè)（a，5-a），要使∠APB最大，只要tan∠APB最大，求得tan∠APB=|

5-a a-1 - 5-a a-3

1+ 5-a a-1 • 5-a a-3

|=

5-a

a2-7a+14

，再利用基本不等式求得它的最大值，從而得點(diǎn)P的坐標(biāo)．

解答： 解：設(shè)P（a，5-a），要使∠APB最大，只要tan∠APB最大．
∵a=5時(shí)，∠APB=0，∴a＜5，5-a＞0．
∵K_PA=

5-a

a-1

，k_PB=

5-a

a-3

，
tan∠APB=|

5-a a-1 - 5-a a-3

1+ 5-a a-1 • 5-a a-3

|=

5-a

a2-7a+14

令t=5-a（t＞0），tan∠APB=

t

t2-3t+4

=

1

t+ 4 t -3

≤1，當(dāng)且僅當(dāng)t=2，即a=3時(shí)，取等號(hào)．
∴∠APB的最大值為

π

4

，此時(shí)，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（3，2）．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查兩條直線的夾角公式，以及基本不等式，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題．