Question

如圖，直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，已知∠ACB=90°，AC=BC=1，BB₁=2，M，N分別是B₁C₁和AB的中點(diǎn)．
（1）求MN與底面ABC所成角的余弦值；
（2）求點(diǎn)A₁到平面AB₁C₁的距離．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與平面所成的角,點(diǎn)、線、面間的距離計(jì)算

專(zhuān)題：空間位置關(guān)系與距離

分析：（1）過(guò)點(diǎn)M作MD⊥BC，垂足為D，連接ND，由已知得∠MND是直線MN與平面ABC所成角．由此能求出MN與底面ABC所成角的余弦值．
（2）設(shè)點(diǎn)A₁到平面AB₁C₁的距離為d，由VA1-AB1C1=VA-A1B1C1，用等體積法能求出點(diǎn)A₁到平面AB₁C₁的距離．

解答： 解：（1）過(guò)點(diǎn)M作MD⊥BC，垂足為D，連接ND
∵平面BB₁C₁C⊥平面ABC，∴MD⊥平面ABC，
∴∠MND是直線MN與平面ABC所成角．
在△MND中，MN=

17

2

，ND=

1

2

，
∴cos∠MND=

17

17

．
∴MN與底面ABC所成角的余弦值為

17

17

．
（2）設(shè)點(diǎn)A₁到平面AB₁C₁的距離為d，
VA1-AB1C1=VA-A1B1C1，
∵直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，∠ACB=90°，
AC=BC=1，BB₁=2，M，N分別是B₁C₁和AB的中點(diǎn)，
∴

1

3

 S△AB1C1•d=

1

3

S△A1B1C1•AA1，
∴由等體積法解得，點(diǎn)A₁到平面AB₁C₁的距離：
d=

1 2 ×1×1×2

1 2 ×1× 4+1

=

2 5

5

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查直線與平面所成角的余弦值的求法，考查點(diǎn)到平面的距離的求法，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意等積法的合理運(yùn)用．