Question

11．如圖，四棱錐P-ABCD的底面是直角梯形，AB∥CD，AB⊥AD，PA=CD=AD=2AB=2，PA⊥底面ABCD，E是PC的中點(diǎn)．
（1）求證：BE∥面PAD；
（2）求直線BE與平面PAB所成角的正弦值．

Answer 1

分析 （1）利用三角形的中位線定理、平行四邊形的判定與性質(zhì)定理及線面平行的判定定理即可證明；
（2）由BE∥AM，可得直線BE與平面PAB所成角的正弦值=直線MA與平面PAB所成角的正弦值=sin∠PAM．

解答 （1）證明：取PD的中點(diǎn)為M，連接ME，MA，
∵E是PC的中點(diǎn)，∴ME是△PCD的中位線．
∴ME∥CD，ME=$\frac{1}{2}$CD．
又∵AB∥CD，2AB=CD，
∴ME∥AB，且ME=AB．
∴四邊形MEBA是平行四邊形，
∴BE∥AM．
∵BE?平面PAD，AM?平面PAD，
∴BE∥平面PAD．
（2）解：直線BE與平面PAB所成角的正弦值=直線MA與平面PAB所成角的正弦值=sin∠PAM，
∵PA⊥底面ABCD，PA=DA，M是PD的中點(diǎn)，
∴∠PAM=45°，
∴sin∠PAM=$\frac{\sqrt{2}}{2}$．

點(diǎn)評 本題考查的知識點(diǎn)是直線與平面所成的角，直線與平面平行的判定，熟練掌握線面平行的判定定理是解題的關(guān)鍵．