Question

20．若函數(shù)f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{a}^{x-a}，x≤a}\\{-{x}^{2}+2ax-{a}^{2}+2a，x＞a}\end{array}\right.$（a＞0且a≠1）在其定義域內(nèi)單調(diào)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為（　�。�

• A． （0，$\frac{1}{2}$）
• B． （0，$\frac{1}{2}$]
• C． （$\frac{1}{2}$，1）
• D． [$\frac{1}{2}$，1）

Answer 1

分析 利用配方法化簡解析式，對a進(jìn)行分類討論，分別由指數(shù)函數(shù)和一元二次函數(shù)的單調(diào)性，判斷f（x）的單調(diào)性，結(jié)合條件列出不等式求出實(shí)數(shù)a的取值范圍．

解答 解：由題意得，f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{a}^{x-a}，x≤a}\\{-（{x-a）}^{2}+2a，x＞a}\end{array}\right.$，
當(dāng)0＜a＜1時(shí)，因?yàn)閥=a^x-a在（-∞，a]上遞減，
y=-（x-a）²+2a在（a，+∞）上遞減，且f（x）在其定義域內(nèi)單調(diào)，
所以a^a-a≥-（a-a）²+2a，解得a≤$\frac{1}{2}$，則0＜a≤$\frac{1}{2}$；
當(dāng)a＞1時(shí)，因?yàn)閥=a^x-a在（-，a]上遞增，
y=-（x-a）²+2a在（a，+∞）上遞減，所以f（x）在其定義域內(nèi)不單調(diào)，
所以不成立，
綜上 可得，實(shí)數(shù)a的取值范圍是（0，$\frac{1}{2}$]．

點(diǎn)評 本題考查分段函數(shù)的單調(diào)性，函數(shù)單調(diào)性定義的應(yīng)用，考查指數(shù)函數(shù)和一元二次函數(shù)的單調(diào)性，注意端點(diǎn)處的函數(shù)值大小關(guān)系．