Question

1．已知函數(shù)f（x）=e^x+ax-1（a∈R）．
（1）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）記函數(shù)f（x）的導(dǎo)數(shù)為f′（x），證明：對(duì)任意a∈R，給定x₁，x₂且x₁＜x₂存在x₀∈（x₁，x₂），使得f′（x₀）=$\frac{f（{x}_{2}）-f（{x}_{1}）}{{x}_{2}-{x}_{1}}$．

Answer 1

分析 （1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，通過討論a的范圍，判斷函數(shù)的單調(diào)性，從而求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間即可；
（2）求出f（x）的導(dǎo)數(shù)，令g（x）=f′（x）-$\frac{f（{x}_{2}）-f（{x}_{1}）}{{x}_{2}-{x}_{1}}$，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求出g（x）在（x₁，x₂）單調(diào)遞增且連續(xù)，g（x₁ ）g（x₂）＜0，從而得到結(jié)論．

解答 解：（1）由f（x）=e^x+ax-1，則f′（x）=e^x+a
當(dāng)a≥0時(shí)，對(duì)?x∈R，有f′（x）＞0，所以函數(shù)f（x）在區(qū)間R上單調(diào)遞增；                                                
當(dāng)a＜0時(shí)，由f′（x）＞0，得x＞ln（-a）；由f′（x）＜0，得x＜ln（-a），
此時(shí)函數(shù)f（x）的單調(diào)增區(qū)間為（ln（-a），+∞），單調(diào)減區(qū)間為（-∞，ln（-a））．
綜上所述，當(dāng)a≥0時(shí)，函數(shù)f（x）的單調(diào)增區(qū)間為R；
當(dāng)a＜0時(shí)，函數(shù)f（x）的單調(diào)增區(qū)間為（ln（-a），+∞），單調(diào)減區(qū)間為（-∞，ln（-a））；
（2）證明：由f（x）=e^x+ax-1，則f′（x）=e^x+a，
$\frac{f（{x}_{2}）-f（{x}_{1}）}{{x}_{2}-{x}_{1}}$=$\frac{{e}^{{x}_{2}}{-e}^{{x}_{1}}}{{x}_{2}{-x}_{1}}$+a，
令g（x）=f′（x）-$\frac{f（{x}_{2}）-f（{x}_{1}）}{{x}_{2}-{x}_{1}}$=e^x+a+$\frac{{e}^{{x}_{2}}{-e}^{{x}_{1}}}{{x}_{2}{-x}_{1}}$+a=$\frac{1}{{x}_{2}{-x}_{1}}$[（x₂-x₁）e^x-（${e}^{{x}_{2}}$-${e}^{{x}_{1}}$）]，
可知函數(shù)g（x）是單調(diào)遞增函數(shù)，
g（x₁）═$\frac{1}{{x}_{2}{-x}_{1}}$[（x₂-x₁）${e}^{{x}_{1}}$-（${e}^{{x}_{2}}$-${e}^{{x}_{1}}$）]=$\frac{1}{{x}_{2}{-x}_{1}}$[（x₂-x₁+1）${e}^{{x}_{1}}$-${e}^{{x}_{2}}$]，
h（x）=（x₂-x+1）e^x-${e}^{{x}_{2}}$，h′（x）=e^x（x₂-x），
當(dāng)x＜x₂時(shí)，h′（x）＞0，即x＜x₂，h（x）單調(diào)遞增
h（x₁）＜h（x₂），∵$\frac{1}{{x}_{2}{-x}_{1}}$＞0，從而可知g（x₁）＜0，
g（x₂）═$\frac{1}{{x}_{2}{-x}_{1}}$[（x₂-x₁-1）${e}^{{x}_{2}}$+${e}^{{x}_{1}}$]，
令h₁（x）=（x-x₁-1）e^x+${e}^{{x}_{1}}$，h₁′（x）=（x-x₁）e^x，
當(dāng)x＞x₁時(shí)，h₁′（x）＞0即x＞x₁，h（x）單調(diào)遞增，
∴h₁（x₂）=（x₂-x₁-1）${e}^{{x}_{2}}$+${e}^{{x}_{1}}$＞，h₁（x₁）=（x₁-x₁-1）${e}^{{x}_{1}}$+${e}^{{x}_{1}}$=0，
∵$\frac{1}{{x}_{2}{-x}_{1}}$＞0，從而可知g（x₂）＜0，
g（x）在（x₁，x₂）單調(diào)遞增且連續(xù)，g（x₁ ）g（x₂）＜0，
存在x₀∈（x₁，x₂），使得f′（x₀）=$\frac{f（{x}_{2}）-f（{x}_{1}）}{{x}_{2}-{x}_{1}}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性、最值問題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用以及分類討論思想，是一道綜合題．