Question

7．如圖所示，五邊形ABC 中，點(diǎn)M、N、P、Q分別是AB、CD、BC、DE的中點(diǎn)，K和L分別是MN和PQ的中點(diǎn)．求證：$\overrightarrow{KL}$=$\frac{1}{4}$$\overrightarrow{AE}$．

Answer 1

分析 通過連線，將多邊形分割成三角形、四邊形，為多個(gè)中點(diǎn)的利用創(chuàng)造條件，這是解本例的突破口．關(guān)鍵是做題中三角形中位線定理的運(yùn)用．

解答 證明：連接BE，取其中點(diǎn)R，連接MR，RN，PR，PN，NQ，RQ．
∵點(diǎn)M是AB的中點(diǎn)，R是BE的中點(diǎn)，
∴MR∥AE，MR=$\frac{1}{2}$AE，
∵R，N、P、Q分別為BE、CD、BC、DE的中點(diǎn)，
連接CE，
∴PR∥CE，PR=$\frac{1}{2}$CE，NQ∥CE，NQ=$\frac{1}{2}$CE，
∴PR∥NQ，PR=NQ，
∴四邊形PNQR是平行四邊形，
∴RN與PQ互相平分，
∵點(diǎn)L是PQ的中點(diǎn)，
∴點(diǎn)L是RN的中點(diǎn)，
∵點(diǎn)K是MN的中點(diǎn)，
∴KL=$\frac{1}{2}$MR，
∴KL=$\frac{1}{4}$AE，
∴$\overrightarrow{KL}$=$\frac{1}{4}$$\overrightarrow{AE}$．

點(diǎn)評 此題主要考查平行四邊形的判定與性質(zhì)及三角形中位線定理的綜合運(yùn)用．注需要什么，構(gòu)造什么，構(gòu)造基本圖形、構(gòu)造線段的和差（倍分）關(guān)系、構(gòu)造角的關(guān)系等，這是作輔助線的有效思考方法之一．