Question

18．已知命題p：函數(shù)$y=\sqrt{{x^2}+ax+1}$的值域?yàn)閇0，+∞），命題q：對(duì)任意的x∈R，不等式|x|-|x+a|≤1恒成立，若命題p∧（?q）為真命題，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（-∞，-2]∪[2，+∞）．

Answer 1

分析 若命題p為真，則需滿足x²+ax+1∈[0，+∞），所以便可得到△=a²-4≥0，所以|a|≥2．根據(jù)絕對(duì)值不等式，|x|-|x+a|≤|a|，所以命題q為真時(shí)|a|≤1，而能夠判斷p真，q假，所以便可求出|a|≥2，這便可求得a的取值范圍．

解答 解：若函數(shù)y=$\sqrt{{x}^{2}+ax+1}$的值域?yàn)閇0，+∞），則需x²+ax+1∈[0，+∞）；
∴△=a²-4≥0，|a|≥2；
若不等|x|-|x+a|≤1恒成立；
∵|x|-|x+a|≤|x-（x+a）|=|a|；
∴需|a|≤1；
若p∧（￢q）為真命題，則p真，q假；
而q假時(shí)，|a|＞1；
∴p真，q假成立時(shí)|a|≥2，即a≤-2，或a≥2；
∴實(shí)數(shù)a的取值范圍為（-∞，-2]∪[2，+∞）．
故答案為：（-∞，-2]∪[2，+∞）．

點(diǎn)評(píng) 考查函數(shù)值域的概念，對(duì)二次函數(shù)的圖象應(yīng)比較熟練，含絕對(duì)值不等式|a|-|b|≤|a-b|的運(yùn)用，p∧q，￢q的真假和p，q真假的關(guān)系．