Question

3．在三角形ABC中，已知AB=4，AC=3，BC=6，P為BC中點，則三角形ABP的周長為7+$\frac{\sqrt{14}}{2}$．

Answer 1

分析 如圖所示，設∠APB=α，∠APC=π-α．在△ABP與△APC中，由余弦定理可得：AB²=AP²+BP²-2AP•BPcosα，AC²=AP²+PC²-2AP•PCcos（π-α），
可得AB²+AC²=2AP²+$\frac{1}{2}B{C}^{2}$，代入即可得出．

解答 解：如圖所示，
設∠APB=α，∠APC=π-α．
在△ABP與△APC中，
由余弦定理可得：AB²=AP²+BP²-2AP•BPcosα，
AC²=AP²+PC²-2AP•PCcos（π-α），
∴AB²+AC²=2AP²+$\frac{1}{2}B{C}^{2}$，
∴4²+3²=2AP²+$\frac{1}{2}×{6}^{2}$，
解得AP=$\frac{\sqrt{14}}{2}$．
∴三角形ABP的周長=7+$\frac{\sqrt{14}}{2}$．
故答案為：7+$\frac{\sqrt{14}}{2}$．

點評 本題考查了余弦定理的應用、中線長定理，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．