Question

17．已知函數(shù)f（x）=log₂（2x²-4x+10），g（x）=f（x）-log₂（x²+x+1）
（1）求函數(shù)f（x）的值域；
（2）若g（x）＞1，求x的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）先對函數(shù)的真數(shù)配方，求得真數(shù)的最小值，從而求得函數(shù)的最小值，即得值域；
（2）將不等式等價為：$\frac{2x^2-4x+10}{x^2+x+1}$＞2，解之即可．

解答 解：（1）f（x）=log₂[2（x-1）²+8]，
顯然，當x=1時，真數(shù)取得最小值8，
所以，函數(shù)的最小值為log₂8=3，
即f（x）_min=f（1）=log₂8=3，
因此，函數(shù)f（x）的值域為[3，+∞）；
（2）g（x）=f（x）-log₂（x²+x+1）
=log₂（2x²-4x+10）-log₂（x²+x+1）
=log₂$\frac{2x^2-4x+10}{x^2+x+1}$＞1，
所以，$\frac{2x^2-4x+10}{x^2+x+1}$＞2，
解得x＜$\frac{4}{3}$，
即x的取值范圍為（-∞，$\frac{4}{3}$）．

點評 本題主要考查了對數(shù)函數(shù)的圖象與性質，涉及函數(shù)的單調性和最值，以及對數(shù)的運算性質和不等式的解法，屬于中檔題．