Question

5．如圖，在正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中．
（1）求異面直線A₁B與AD₁所成的角；
（2）求證：A₁D⊥平面ABD₁．

Answer 1

分析 （1）由AD₁∥BC₁，得∠A₁BC₁是異面直線A₁B與AD₁所成的角，由此能求出異面直線A₁B與AD₁所成的角．
（2）由已知推導出A₁D⊥AD₁，AB⊥A₁D，由此能證明A₁D⊥平面ABD₁．

解答 解：（1）∵AD₁∥BC₁，∴∠A₁BC₁是異面直線A₁B與AD₁所成的角，
∵A₁B=BC₁=A₁C₁，∴∠A₁BC₁=60°，
∴異面直線A₁B與AD₁所成的角為60°．
證明：（2）∵ADD₁A₁是正方形，∴A₁D⊥AD₁，
∵在正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AB⊥平面ADD₁A₁，A₁D?平面ADD₁A₁，
∴AB⊥A₁D，
∵AB∩A₁D=A，∴A₁D⊥平面ABD₁．

點評 本題考查異面直線所成角的求法，考查線面垂直的證明，是中檔題，解題時要認真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．