Question

已知正項(xiàng)數(shù)列{a_n}滿足a₁=

1

2

，且a_n+1=

an

1+an

．
（1）求正項(xiàng)數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）求和

a1

1

+

a2

2

+…+

an

n

．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列的求和,數(shù)列遞推式

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）由an+1=

an

1+an

，得

1

an+1

-

1

an

=1，由此能求出an=

1

n+1

．
（2）由

an

n

=

1

n(n+1)

=

1

n

-

1

n+1

，利用裂項(xiàng)法能求出

a1

1

+

a2

2

+…+

an

n

的值．

解答： （滿分12分）
解：（1）由an+1=

an

1+an

，
∵a_n+1a_n+a_n+1=a_n，
∴

1

an+1

-

1

an

=1．
∵a1=

1

2

，
∴數(shù)列{

1

an

}是首項(xiàng)為2，公差為1的等差數(shù)列．
∴

1

an

=2+n-1=n+1，∴an=

1

n+1

．
（2）∵

an

n

=

1

n(n+1)

=

1

n

-

1

n+1

，
∴

a1

1

+

a2

2

+…+

an

n

=

1

2×1

+

1

3×2

+…+

1

(n+1)n

=1-

1

2

+

1

2

-

1

3

+…+

1

n

-

1

n+1

=1-

1

n+1

=

n

n+1

．

點(diǎn)評：本題考查數(shù)列的通項(xiàng)公式的求法，考查數(shù)列的通項(xiàng)公式的求法，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意裂項(xiàng)求和法的合理運(yùn)用．