Question

（1）設(shè)x，y滿足約束條件

3x-y-6≤0 x-y+2≥0 x≥0，y≥0

，則

x-2y-1

y-2

的取值范圍是多少？
（2）設(shè)x，y為實數(shù)，若4x²-2xy+4y²=1，求2x+y的最大值．

Answer 1

考點(diǎn)：簡單線性規(guī)劃

專題：不等式的解法及應(yīng)用

分析：（1）根據(jù)分式的性質(zhì)，結(jié)合斜率的幾何意義即可得到結(jié)論．
（2）設(shè)t=2x+y，即y=t-2x，利用消元法，結(jié)合判別式△建立條件關(guān)系即可得到結(jié)論．

解答： 解：（1）

x-2y-1

y-2

=

x-2(y-2)-5

y-2

=

x-5

y-2

-2=

1

y-2 x-5

-2，
設(shè)k=

y-2

x-5

，z=

1

k

-2．則k的幾何意義為動點(diǎn)P（x，y）到定點(diǎn)D（5，2）的斜率，
作出不等式組對應(yīng)的平面區(qū)域如圖：
由圖象可知CD的斜率k=

2-0

5-2

=

2

3

，
由

3x-y-6=0 x-y+2=0

，解得

x=4 y=6

，即B（4，6），
此時BD的斜率k=

6-2

4-5

=-4．
則-4≤k≤

2

3

，
則

1

k

≥

3

2

或

1

k

≤-

1

4

，
即

1

k

-2≥-

1

2

或

1

k

≤-

9

4

，
即z≥-

1

2

或z≤-

9

4

，
則

x-2y-1

y-2

的取值范圍是(-∞，-

9

4

]∪[-

1

2

，+∞)．
（2）設(shè)t=2x+y，即y=t-2x，
則方程等價為4x²-2x（t-2x）+4（t-2x）²=1，
整理得24x²-18tx+4t²-1=0，
則判別式△=（18t）²-4×24（4t²-1）≥0，
即60t²≤64，
即t²≤

16

15

，
解得-

4 15

15

≤t≤

4 15

15

，
即2x+y的最大值是

4 15

15

．

點(diǎn)評：本題主要考查不等式的求解，利用線性規(guī)劃的應(yīng)用以及斜率的幾何意義是解決本題的關(guān)鍵．綜合性較強(qiáng)，難度較大．