Question

6．在數(shù)列{a_n}中，已知a₁=4，a_n+1=3a_n-2n+1，n∈N⁺．
（1）設(shè)b_n=a_n-n，求證：數(shù)列{b_n}是等比數(shù)列；
（2）求數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和S_n．

Answer 1

分析 （1）利用a_n+1=3a_n-2n+1，化簡可知b_n+1=3b_n，進(jìn)而可知數(shù)列{b_n}是首項(xiàng)、公比均為3的等比數(shù)列；
（2）通過（1）可知a_n=n+3ⁿ，進(jìn)而利用分組求和法計(jì)算即得結(jié)論．

解答 （1）證明：∵a_n+1=3a_n-2n+1，
∴b_n+1=a_n+1-（n+1）
=3a_n-2n+1-n-1
=3（a_n-n）
=3b_n，
又∵b₁=a₁-1=4-1=3，
∴數(shù)列{b_n}是首項(xiàng)、公比均為3的等比數(shù)列；
（2）解：由（1）可知a_n-n=3ⁿ，即a_n=n+3ⁿ，
∴S_n=$\frac{n（n+1）}{2}$+$\frac{3（1-{3}^{n}）}{1-3}$=$\frac{{3}^{n+1}-3}{2}$+$\frac{n（n+1）}{2}$．

點(diǎn)評 本題考查數(shù)列的通項(xiàng)及前n項(xiàng)和，考查分組求和法，注意解題方法的積累，屬于中檔題．