Question

1．已知拋物線y²=2px的準線方程為x=-1焦點為F，A，B，C為該拋物線上不同的三點，$\overrightarrow{\left|{FA}\right|}，\overrightarrow{\left|{FB}\right|}，\overrightarrow{\left|{FC}\right|}$成等差數(shù)列，且點B在x軸下方，若$\overrightarrow{FA}+\overrightarrow{FB}+\overrightarrow{FC}=0$，則直線AC的方程為2x-y-1=0．

Answer 1

分析 根據(jù)拋物線的準線方程求出p，設(shè)A，B，C的坐標，根據(jù)$\overrightarrow{\left|{FA}\right|}，\overrightarrow{\left|{FB}\right|}，\overrightarrow{\left|{FC}\right|}$成等差數(shù)列，且點B在x軸下方，若$\overrightarrow{FA}+\overrightarrow{FB}+\overrightarrow{FC}=0$，求出x₁+x₃=2，x₂=1，然后求出直線AC的斜率和A，C的中點坐標，進行求解即可．

解答 解：拋物線的準線方程是x=-$\frac{p}{2}$=-1，∴p=2，
即拋物線方程為y²=4x，F(xiàn)（1，0）
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），C（x₃，y₃），
∵|$\overrightarrow{FA}$|，|$\overrightarrow{FB}$|，|$\overrightarrow{FC}$|成等差數(shù)列，
∴|$\overrightarrow{FA}$|+|$\overrightarrow{FC}$|=2|$\overrightarrow{FB}$|，
即x₁+1+x₃+12（x₂+1），
即x₁+x₃=2x₂，
∵$\overrightarrow{FA}+\overrightarrow{FB}+\overrightarrow{FC}=0$，
∴（x₁-1+x₂-1+x₃-1，y₁+y₂+y₃）=0，
∴x₁+x₂+x₃=3，y₁+y₂+y₃=0，
則x₁+x₃=2，x₂=1，
由y₂²=4x₂=4，則y₂=-2或2（舍），
則y₁+y₃=2，
則AC的中點坐標為（$\frac{{x}_{1}+{x}_{3}}{2}$，$\frac{{y}_{1}+{y}_{3}}{2}$），即（1，1），
AC的斜率k=$\frac{{y}_{1}-{y}_{3}}{{x}_{1}-{x}_{3}}$=$\frac{{y}_{1}-{y}_{3}}{\frac{{{y}_{1}}^{2}}{4}-\frac{{{y}_{3}}^{2}}{4}}$=$\frac{4}{{y}_{1}+{y}_{3}}$=$\frac{4}{2}$=2，
則直線AC的方程為y-1=2（x-1），
即2x-y-1=0，
故答案為：2x-y-1=0

點評 本題主要考查直線和拋物線的位置關(guān)系，根據(jù)條件求出直線AB的斜率和AB的中點坐標是解決本題的關(guān)鍵．綜合性較強，難度較大．