已知x,y,z為實(shí)數(shù),且x+y+z=1,求證:(3x-1)ln
x+1
x-1
+(3y-1)ln
y+1
y-1
+(3z-1)ln
z+1
z-1
>0.
考點(diǎn):不等式的證明
專(zhuān)題:數(shù)學(xué)模型法,導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用,不等式的解法及應(yīng)用
分析:本題通過(guò)函數(shù)定義域得到變量的范圍,再分類(lèi)討論,得三式均大于0,故和大于0.
解答: 解:∵ln
x+1
x-1
有意義,
x+1
x-1
>0,
∴x<-1或x>1.
當(dāng)x>1時(shí),3x-1>0,
x+1
x-1
=1+
2
x-1
>1,ln
x+1
x-1
>0,(3x-1)ln
x+1
x-1
>0.
當(dāng)x<-1時(shí),3x-1<0,
x+1
x-1
=1+
2
x-1
<1,ln
x+1
x-1
<0,(3x-1)ln
x+1
x-1
>0.
∴(3x-1)ln
x+1
x-1
>0,
同理(3y-1)ln
y+1
y-1
>0,(3z-1)ln
z+1
z-1
>0.
(3x-1)ln
x+1
x-1
+(3y-1)ln
y+1
y-1
+(3z-1)ln
z+1
z-1
>0.
原命題成立.
點(diǎn)評(píng):本題函數(shù)定義域、函數(shù)單調(diào)性和分類(lèi)討論的數(shù)學(xué)思想,本題難度不在,屬于中檔題.
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相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

如圖為一半徑為3米的水輪,水輪圓心O距水面5米,已知水輪每分鐘逆時(shí)針轉(zhuǎn)6圈,水輪上的固定點(diǎn)P到水面距離y(米)與時(shí)間x(秒)滿足關(guān)系式y(tǒng)=Asin(ωx+φ)+b的函數(shù)形式,當(dāng)水輪開(kāi)始轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)P點(diǎn)位于距離水面最近的A點(diǎn)處,則A=
 
;b=
 
;ω=
 
;φ=
 

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

已知等比數(shù)列{an}的各項(xiàng)均為正數(shù),且2a1+3a2=1,a32=9a2a6
(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式
(2)設(shè)bn=log3a1+log3a2+…+log3an,求{bn}的通項(xiàng)公式.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

某旅游公司為甲,乙兩個(gè)旅游團(tuán)提供四條不同的旅游線路,每個(gè)旅游團(tuán)可任選其中一條旅游線路.
(1)求甲、乙兩個(gè)旅游團(tuán)所選旅游線路不同的概率;
(2)某天上午9時(shí)至10時(shí),甲,乙兩個(gè)旅游團(tuán)都到同一個(gè)著名景點(diǎn)游覽,20分鐘后游覽結(jié)束即離去.求兩個(gè)旅游團(tuán)在該著名景點(diǎn)相遇的概率.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

已知等差數(shù)列{an}中,公差到d>0,其前n項(xiàng)和為Sn,且滿足a2•a3=45,a1+a4=14.
(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式;
(2)通過(guò){bn}=
Sn
n+c
構(gòu)造一個(gè)新的數(shù)列{bn},是否存在一個(gè)非零常數(shù)c,使{bn}也為等差數(shù)列;
(3)求f(n)=
bn
(n+2005)•bn+1
(n∈N*)的最大值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

已知集合A={x|
3-x
x-8
≥0},B={x|x2-9x+14<0},C={x|5-a<x<a}.
(1)求A∪B,(∁RA)∩B;
(2)若C⊆(A∪B),求a的取值范圍.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

為了研究失重狀態(tài)下男女航天員暈飛船的情況,抽取了105名被試者,得到下面2×2列聯(lián)表部分?jǐn)?shù)據(jù).
(1)完成該列聯(lián)表
暈船不暈船合計(jì)
男性30
女性1055
合計(jì)75
(2)根據(jù)獨(dú)立性假設(shè)檢驗(yàn)的方法,有百分之幾的把握認(rèn)為“在失重狀態(tài)下男性比女性更容易暈飛船?”

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

建造一個(gè)容積為50cm3,高為2cm長(zhǎng)方體的無(wú)蓋鐵盒,問(wèn)這個(gè)鐵盒底面的長(zhǎng)和寬各為多少時(shí)材料最。

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

若空間四邊形兩條對(duì)角線的長(zhǎng)度分別是6和8,所成角是45°,則連接各邊中點(diǎn)所得四邊形的面積是
 

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