Question

10．函數(shù)f（x）對(duì)一切實(shí)數(shù)x、y均有f（x+y）-f（y）=（x+2y+1）x成立，且f（1）=0．
（1）求f（0）的值；
（2）在（0，4）上存在實(shí)數(shù)x₀，使得f（x₀）+6=ax₀成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)對(duì)一切實(shí)數(shù)x，y∈R都有f（x+y）-f（y）=x（x+2y+1）成立，且題中已經(jīng)給出了f（1）=0，要求的值是f（0），所以，令x=1，y=0即可求f（0）；
（2）在（1）中已經(jīng)求出了f（0）的值，只需在給出的等式中取y=0即可求 f（x）的解析式，（0，4）上存在實(shí)數(shù)x₀，使得f（x₀）+6=ax₀成立，分離參數(shù)，求出參數(shù)的取值范圍即可．

解答 解：（1）因?yàn)楹瘮?shù)f（x）對(duì)一切實(shí)數(shù)x，y都有f（x+y）-f（y）=x（x+2y+1）成立．且f（1），所以令x=1，y=0，
代入上式得f（1）-f（0）=2，
所以f（0）=-2．
（2）因?yàn)楹瘮?shù)f（x）對(duì)一切實(shí)數(shù)x，y都有f（x+y）-f（y）=x（x+2y+1）成立，所以令y=0，代入上式得
f（x）-f（0）=x（x+1），又由（1）知f（0）=-2，
所以f（x）=x（x+1）-2，
因?yàn)閒（x₀）+6=ax₀成立，
即x₀（x₀+1）-2+6=ax₀在（0，4）上成立，
所以a=x₀+1+$\frac{4}{{x}_{0}}$≥2$\sqrt{{x}_{0}\frac{4}{{x}_{0}}}$+1=5，當(dāng)且僅當(dāng)x₀=2時(shí)取等號(hào)，
所以a≥5．

點(diǎn)評(píng) 本題考查抽象函數(shù)及其應(yīng)用，解決抽象函數(shù)的問題一般應(yīng)用賦值法．關(guān)鍵是結(jié)合已知條件和要求的結(jié)論對(duì)變量恰當(dāng)賦值．