Question

20．已知平面直角坐標系內(nèi)三點A，B，C在一條直線上，滿足$\overrightarrow{OA}$=（-2，m），$\overrightarrow{OB}$=（n，1），$\overrightarrow{OC}$=（5，-1），且$\overrightarrow{OA}$⊥$\overrightarrow{OB}$，其中O為坐標原點．
（1）求實數(shù)m，n的值；
（2）設(shè)△OAC的垂心為G，且$\overrightarrow{OB}$=$\frac{3}{2}$$\overrightarrow{OG}$，試求∠AOC的大�。�

Answer 1

分析 （1）利用已知向量的坐標結(jié)合向量加減法的坐標運算求得$\overrightarrow{AB}，\overrightarrow{AC}$的坐標，結(jié)合三點A，B，C在一條直線上可得$\overrightarrow{AC}∥\overrightarrow{AB}$，進一步得到一個關(guān)于m，n的方程，再由$\overrightarrow{OA}$⊥$\overrightarrow{OB}$得關(guān)于m，n的另一方程，聯(lián)立方程組求得m值；
（2）由題意可得使$\overrightarrow{OB}$=$\frac{3}{2}$$\overrightarrow{OG}$的向量$\overrightarrow{OA}$的坐標，然后利用數(shù)量積求夾角公式求得∠AOC的大�。�

解答 解：（1）由A，B，C三點共線，可得$\overrightarrow{AC}∥\overrightarrow{AB}$，
∵$\overrightarrow{OA}$=（-2，m），$\overrightarrow{OB}$=（n，1），$\overrightarrow{OC}$=（5，-1），
∴$\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{OC}-\overrightarrow{OA}$=（7，-1-m），$\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OA}=（n+2，1-m）$，
∴7（1-m）=（-1-m）（n+2），①
又∵$\overrightarrow{OA}$⊥$\overrightarrow{OB}$，∴$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$=0，即-2n+m=0，②
聯(lián)立①②解得：$\left\{\begin{array}{l}{m=6}\\{n=3}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{m=3}\\{n=\frac{3}{2}}\end{array}\right.$；
（2）∵G為△OAC的重心，且$\overrightarrow{OB}=\frac{3}{2}\overrightarrow{OG}$，
∴B為AC的中點，故m=3，n=$\frac{3}{2}$．
∴$\overrightarrow{OA}=（-2，3），\overrightarrow{OC}=（5，-1）$，
∴$cos∠AOC=\frac{\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OC}}{|\overrightarrow{OA}|•|\overrightarrow{OC}|}=\frac{-13}{\sqrt{13}•\sqrt{26}}$=$-\frac{\sqrt{2}}{2}$．
且∠AOC∈（0，π），∴$∠AOC=\frac{3π}{4}$．

點評 本題考查平面向量的數(shù)量積運算，考查了向量共線和垂直的坐標表示，訓練了利用數(shù)量積求向量的夾角，是中檔題．