Question

17．已知函數(shù)f（x）=（x²-k）e^x（e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，e=2.71828，k∈R）．
（1）當(dāng)k=3時(shí)，求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間和極值；
（2）若對(duì)于任意x∈[1，2]，都有f（x）＜2x成立，求k的取值范圍；
（3）求函數(shù)y=f（x）在x∈[0，1]上的最大值．

Answer 1

分析 （1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，解關(guān)于導(dǎo)函數(shù)的不等式，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間即可；
（2）等價(jià)于k＞x²-$\frac{2x}{{e}^{x}}$對(duì)x∈[1，2]恒成立，令g（x）=x²-$\frac{2x}{{e}^{x}}$，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求出g（x）的最大值，從而求出k的范圍即可；
（3）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，通過(guò)討論k的范圍，得到函數(shù)的單調(diào)性，從而求出f（x）的最大值即可．

解答 解：（1）k=3，f（x）=（x²-3）e^x，
f′（x）=（x+3）（x-1）e^x，
令f′（x）＞0，解得：x＞1或x＜-3，
令f′（x）＜0，解得：-3＜x＜1，
∴函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為（-∞，-3），（1，+∞）；單調(diào)減區(qū)間為（-3，1）；
當(dāng)x=-3時(shí)，f（x）取得極大值6e^-3；當(dāng)x=1時(shí)，f（x）取得極小值-2e．
（2）依據(jù)題意有（x²-k）e^x＜2x，等價(jià)于k＞x²-$\frac{2x}{{e}^{x}}$對(duì)x∈[1，2]恒成立，
令g（x）=x²-$\frac{2x}{{e}^{x}}$，g′（x）=2x-$\frac{2（1-x）}{{e}^{x}}$，
由1≤x≤2，所以$\frac{2（1-x）}{{e}^{x}}$＜0，則g′（x）＞0成立，
所以g（x）在[1，2]上單調(diào)遞增，所以k＞g（2），
故k＞4-$\frac{4}{{e}^{2}}$．
（3）f′（x）=（x²+2x-k）e^x，令h（x）=x²+2x-k，
當(dāng)h（0）≥0，即k≤0時(shí)，h（x）≥0在x∈[0，1]上恒成立，則f′（x）≥0，
所以f（x）在[0，1]上單調(diào)遞增，所以f（x）的最大值為f（1）；
當(dāng)h（1）≤0，即k≥3時(shí)，h（x）≤0在x∈[0，1]上恒成立，則f′（x）≤0，
所以f（x）在[0，1]上單調(diào)遞減，所以f（x）的最大值f（0）；
當(dāng)$\left\{\begin{array}{l}{h（0）＜0}\\{h（1）＞0}\end{array}\right.$，0＜k＜3時(shí)，設(shè)f′（x₀）=0，
f（x）在[0，x₀]上單調(diào)遞減，在[x₀，1]上遞增，
所以函數(shù)的最大值在x=0或1處取得，
f（1）-f（0）=（1-k）e+k，當(dāng)0＜k＜$\frac{e}{e-1}$，f（1）＞f（0）；
當(dāng)3＞k＞$\frac{e}{e-1}$時(shí)，f（0）＞f（1）；當(dāng)k=$\frac{e}{e-1}$時(shí)，f（1）=f（0），
故f（x）_max=$\left\{\begin{array}{l}{（1-k）e，k≤\frac{e}{e-1}}\\{-k，k＞\frac{e}{e-1}}\end{array}\right.$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性、最值問(wèn)題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用以及函數(shù)恒成立問(wèn)題，是一道中檔題．