Question

12．以平面直角坐標系的原點為極點，x軸的正半軸為極軸，建立極坐標系，兩種坐標系中取相同的長度單位，已知曲線C₁的參數(shù)方程為$\left\{{\begin{array}{l}{x=cosα}\\{y=sinα}\end{array}}\right.$（α為參數(shù)，且α∈[π，2π]），曲線C₂的極坐標方程為ρ=2sinθ．
（1）求C₁的極坐標方程與C₂的直角坐標方程；
（2）若P是C₁上任意一點，過點P的直線l交C₂于M，N兩點，求|PM|•|PN|的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由曲線C₁的參數(shù)方程，消去參數(shù)可得普通方程x²+y²=1，由于π≤α≤2π，可得-1≤x≤1，-1≤y≤0，即可得出直角坐標方程與極坐標方程．曲線C₂的極坐標方程為ρ=2sinθ即ρ²=2ρsinθ，利用ρ²=x²+y²，y=ρsinθ，即可化為直角坐標方程．
（Ⅱ）設P（x₀，y₀），則-1≤y₀≤0，直線l的傾斜角為α，可得直線l的參數(shù)方程為：$\left\{{\begin{array}{l}{x={x_0}+tcosα}\\{y={y_0}+tsinα}\end{array}}\right.$（t為參數(shù)）．代入C₂的直角坐標方程得t²+[2x₀cosα+2sinα（y₀-1）]t+1-2y₀=0，由直線參數(shù)方程中t的幾何意義可知|PM|•|PN|=|1-2y₀|，即可得出．

解答 解：（Ⅰ）曲線C₁的參數(shù)方程為$\left\{{\begin{array}{l}{x=cosα}\\{y=sinα}\end{array}}\right.$（α為參數(shù)，且α∈[π，2π]），消去參數(shù)可得x²+y²=1，
∵π≤α≤2π，∴-1≤x≤1，-1≤y≤0，
∴曲線C₁是x²+y²=1在x軸下方（包括x軸上的兩點）的部分，∴曲線C₁的極坐標方程為ρ=1（π≤θ≤2π）．
曲線C₂的極坐標方程為ρ=2sinθ即ρ²=2ρsinθ，可得：曲線C₂的直角坐標方程為x²+（y-1）²=1．
（Ⅱ）設P（x₀，y₀），則-1≤y₀≤0，直線l的傾斜角為α，
則直線l的參數(shù)方程為：$\left\{{\begin{array}{l}{x={x_0}+tcosα}\\{y={y_0}+tsinα}\end{array}}\right.$（t為參數(shù)）．
代入C₂的直角坐標方程得${（{x_0}+tcosα）^2}+{（{y_0}+tsinα-1）^2}=1$，
即t²+[2x₀cosα+2sinα（y₀-1）]t+1-2y₀=0，
由直線參數(shù)方程中t的幾何意義可知|PM|•|PN|=|1-2y₀|，
∵-1≤y₀≤0，∴|PM|•|PN|∈[1，3]．

點評 本題考查了極坐標與直角坐標方程的互化、參數(shù)方程化為普通方程、直線與圓相交、一元二次方程的根與系數(shù)的關系，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．