Question

2．已知數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，S_n=2a_n-$\frac{1}{2}$（n∈N^*），數(shù)列{b_n}滿足b₁=l，點(diǎn)P（b_n，b_n+1）在直線x-y+2=0上．
（1）求數(shù)列{a_n}，{b_n}的通項(xiàng)a_n和b_n；
（2）令c_n=a_n•b_n，求數(shù)列{c_n}的前n項(xiàng)和T_n；
（3）若λ＞0，求對(duì)所有的正整數(shù)n都有2λ²-kλ+2＞$\frac{_{n}}{{a}_{2n}}$成立的k的范圍．

Answer 1

分析 （1）通過${S_n}=2{a_n}-\frac{1}{2}$與${S_{n-1}}=2{a_{n-1}}-\frac{1}{2}$作差，進(jìn)而整理可知數(shù)列{a_n}是首項(xiàng)為${a_1}=\frac{1}{2}$、公比為2的等比數(shù)列，通過將點(diǎn)P（b_n，b_n+1）代入直線x-y+2=0計(jì)算可知b_n-b_n+1+2=0，進(jìn)而整理即得結(jié)論；
（2）利用錯(cuò)位相減法計(jì)算即得結(jié)論；
（3）通過（1）及作商法計(jì)算可知數(shù)列$\left\{{\frac{b_n}{{{a_{2n}}}}}\right\}$為單調(diào)遞減數(shù)列，進(jìn)而問題轉(zhuǎn)化為求2λ+$\frac{1}{λ}$的最小值，利用基本不等式計(jì)算即得結(jié)論．

解答 解：（1）∵${S_n}=2{a_n}-\frac{1}{2}$，
∴當(dāng)n=1時(shí)，S₁=2a₁-$\frac{1}{2}$，即a₁=$\frac{1}{2}$，
當(dāng)n≥2時(shí)，${S_{n-1}}=2{a_{n-1}}-\frac{1}{2}$，
∴a_n=S_n-S_n-1=2a_n-2a_n-1，
∴${a_n}=2{a_{n-1}}，（n≥2，n∈{N^*}）$，
∴數(shù)列{a_n}是首項(xiàng)為${a_1}=\frac{1}{2}$，公比為2的等比數(shù)列．
∴${a_n}={2^{n-2}}，n∈N*$，
又∵點(diǎn)P（b_n，b_n+1）在直線x-y+2=0上，
∴b_n-b_n+1+2=0，
∴b_n=2n-1；
（2）∵${c_n}={a_n}•{b_n}=（2n-1）{2^{n-2}}（n∈N*）$，
∴${T_n}=\frac{1}{2}×1+1×3+2×5+…+{2^{n-2}}（2n-1）$，
$2{T_n}=1×1+2×3+{2^2}×5+…+{2^{n-2}}（2n-3）+{2^{n-1}}（2n-1）$，
錯(cuò)位相減，得：$-{T_n}=\frac{1}{2}+2（1+2+2+…+{2^{n-2}}）-{2^{n-1}}（2n-1）$
=$\frac{1}{2}+2×\frac{{1-{2^{n-1}}}}{1-2}-{2^{n-1}}（2n-1）=-\frac{3}{2}+{2^{n-1}}（3-2n）$，
∴${T_n}=\frac{3}{2}+（2n-3）{2^{n-1}}$；
（3）由（1）知當(dāng)$n≥1，\frac{b_n}{{{a_{2n}}}}={2^{2-2n}}（2n-1）$，
∵$\frac{_{n+1}}{{a}_{2（n+1）}}$=2^2-2（n+1）（2n-3），
$\frac{\frac{_{n+1}}{{a}_{2n+2}}}{\frac{_{n}}{{a}_{2n}}}$=$\frac{（2n-3）•{2}^{-2n}}{（2n-1）•{2}^{2-2n}}$=$\frac{1}{4}$•$\frac{2n-3}{2n-1}$＜1，
∴數(shù)列$\left\{{\frac{b_n}{{{a_{2n}}}}}\right\}$為單調(diào)遞減數(shù)列，
∴當(dāng)n≥1時(shí)，$\frac{b_n}{{{a_{2n}}}}≤\frac{b_1}{a_2}=1$，即$\frac{b_n}{{{a_{2n}}}}$最大值為1，
由2λ²-kλ+2＞1可得$kλ＜2{λ^2}+1，k＜2λ+\frac{1}{λ}$，
而當(dāng)λ＞0時(shí)，$2λ+\frac{1}{λ}≥2\sqrt{2}$（當(dāng)且僅當(dāng)$λ=\frac{{\sqrt{2}}}{2}$時(shí)取等號(hào)），
∴$k∈（-∞，2\sqrt{2}）$．

點(diǎn)評(píng) 本題是一道關(guān)于數(shù)列與不等式的綜合題，涉及錯(cuò)位相減法，考查運(yùn)算求解能力，注意解題方法的積累，屬于中檔題．