Question

已知函數(shù)f（x）=mlnx+

m

2

x²-x（m≠0）．
（1）若函數(shù)在點(diǎn)（1，f（1））處的切線的斜率為1，求m的值．
（2）若函數(shù)在[1，+∞）上單調(diào)遞增，求m的取值范圍．
（3）若存在x₀∈[1，+∞），使得f（x₀）＞lnx₀+mx₀²-2x₀+

1

m

-1成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性

專題：計(jì)算題,導(dǎo)數(shù)的概念及應(yīng)用,導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用,不等式的解法及應(yīng)用

分析：（1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，由題意可得f′（1）=1，即可得到m=1；
（2）求出f（x）的導(dǎo)數(shù)，由題意可得f′（x）≥0在[1，+∞）上恒成立，運(yùn)用參數(shù)分離和基本不等式即可得到m的范圍；
（3）由題意可得（m-1）lnx₀-

m

2

x₀²+x₀+1-

1

m

＞0成立，令g（x）=（m-1）lnx-

m

2

x²+x+1-

1

m

，求出導(dǎo)數(shù)，并分解因式，對m討論，若m＜0，0＜m＜

1

2

，m≥

1

2

，判斷單調(diào)性，求得極值，令最大值大于0，解不等式即可得到m的范圍．

解答： 解：（1）函數(shù)f（x）=mlnx+

m

2

x²-x的導(dǎo)數(shù)為f′（x）=

m

x

+mx²-1，
函數(shù)在點(diǎn)（1，f（1））處的切線的斜率為1，即有k=f′（1）=m+m-1=1，
解得m=1；
（2）由于f′（x）=

m

x

+mx²-1，函數(shù)f（x）在[1，+∞）上單調(diào)遞增，
則f′（x）≥0在[1，+∞）上恒成立，
即有m≥

1

x+ 1 x

，由于x+

1

x

≥2

x• 1 x

=2，
當(dāng)且僅當(dāng)x=1取得等號(hào)．
即有

1

x+ 1 x

≤

1

2

，
則有m≥

1

2

；
（3）f（x₀）＞lnx₀+mx₀²-2x₀+

1

m

-1即為
mlnx₀+

m

2

x₀²-x₀＞lnx₀+mx₀²-2x₀+

1

m

-1，
即（m-1）lnx₀-

m

2

x₀²+x₀+1-

1

m

＞0，
令g（x）=（m-1）lnx-

m

2

x²+x+1-

1

m

，
則g′（x）=

m-1

x

-mx+1=

m-1-mx2+x

x

=

(x-1)(-mx-m+1)

x

，
由于x₀≥1，存在x₀∈[1，+∞），使得f（x₀）＞lnx₀+mx₀²-2x₀+

1

m

-1成立．
即有g(shù)（x）在[1，+∞）上存在最大值．
若m＜0，則-m＞0，

1-m

m

＜0，即有g(shù)（x）在[1，+∞）遞增，不存在最大值；
若m＞0，則-m＜0，當(dāng)m≥

1

2

時(shí)，g′（x）≤0，g（x）遞減，成立，
即有g(shù)（1）＞0，即-

m

2

+2-

1

m

＞0，解得2-

2

＜m＜2+

2

．
當(dāng)0＜m＜

1

2

，即有

1-m

m

＞1，當(dāng)1＜x＜

1-m

m

時(shí)，g（x）遞增，當(dāng)x＞

1-m

m

遞減，
即有x=

1-m

m

處g（x）取得極大值，也為最大值，
則有（m-1）ln

1-m

m

-

m

2

（

1-m

m

）²+

1-m

m

+1-

1

m

＞0，
即為（m-1）ln

1-m

m

＞

m

2

（

1-m

m

）²，顯然左邊小于0，右邊大于0，不成立．
綜上可得，實(shí)數(shù)m的取值范圍是（2-

2

，2+

2

）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)用：求切線的方程和求單調(diào)區(qū)間和極值、最值，主要考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義和不等式存在和恒成立問題的解法，運(yùn)用參數(shù)分離和分類討論的思想方法是解題的關(guān)鍵．