Question

如圖，已知在底面為正方形是四棱錐P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，M為線段PA
上一動點，E，F(xiàn)分別是線段BC、CD的中點，EF與AC交于點N．
（1）求證：平面PAC⊥平面MEF；
（2）若PC∥平面MEF，試求PM：MA的值．

Answer 1

考點：直線與平面平行的判定,平面與平面垂直的判定

專題：證明題,空間位置關(guān)系與距離

分析：（1）由已知可證明PA⊥EF，由底面ABCD為正方形，E，F(xiàn)分別是線段BC、CD的中點，EF與AC交于點N，可證明AC⊥EF，從而可得EF⊥平面PAC，又EF?平面MEF，即可判定平面PAC⊥平面MEF；
（2）連接MN，由PC∥平面MEF，且MN?平面MEF，MN?平面APC，可得PC∥MN，從而有

PM

MA

=

CN

NA

，設(shè)BC=2，則可得EC=1，AC=

8

，EN=

2

2

，CN=

2

2

，從而可求PM：MA的值．

解答： 解：（1）∵PA⊥底面ABCD，∴PA⊥EF，
∵底面ABCD為正方形，E，F(xiàn)分別是線段BC、CD的中點，EF與AC交于點N．
∴∠ACB=

π

4

，設(shè)BC=2，可得EC=1，EN=

2

2

，可解得AC⊥EF，
∴EF⊥平面PAC，
∵EF?平面MEF，
∴平面PAC⊥平面MEF；
（2）連接MN，∵PC∥平面MEF，且MN?平面MEF，MN?平面APC，
∴PC∥MN，
∴

PM

MA

=

CN

NA

，
∵由（1）可得設(shè)BC=2，則EC=1，AC=

8

，EN=

2

2

，故CN=

1-( 2 2 )2

=

2

2

，
∴解得：

PM

MA

=

CN

NA

=

2 2

8 - 2 2

=

1

3

．

點評：本題主要考查了直線與平面平行的判定，平面與平面垂直的判定，熟練應(yīng)用相關(guān)判定定理和性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵，屬于基本知識的考查．