Question

17．已知橢圓C₁與拋物線C₂的焦點均在x軸上，C₁的中心和C₂的頂點為原點O，從橢圓C₁上取兩個點，從橢圓C₂上取一個點，將其坐標記錄于表中：

x	$\sqrt{2}$	2	4
y	$\frac{\sqrt{2}}{2}$	0	4

（1）試判斷兩個點在C₁上，并求出C₁，C₂的標準方程；
（2）已知直線l：x=my+1與橢圓C₂相交于不同兩點M，N，且滿足$\overrightarrow{OM}⊥\overrightarrow{ON}$，求參數(shù)m的值．

Answer 1

分析 （1）利用拋物線與橢圓的簡單性質(zhì)判斷點的坐標所在曲線，然后求解拋物線方程橢圓方程．
（2）設M（x₁，y₁），N（x₂，y₂）．把直線方程與橢圓的方程聯(lián)立得到關(guān)于y的一元二次方程，利用根與系數(shù)的關(guān)系能求出m的值．

解答 解：（1）因為橢圓與拋物線的中心在原點，焦點坐標在x軸上，所以（2，0）是橢圓上的點，（4，4）是拋物線上的點，（$\sqrt{2}，\frac{\sqrt{2}}{2}$）是橢圓上的點，
設拋物線C₂的方程為：y²=2px，可得16=8p，解得p=2，拋物線C₂的方程為：y²=4x，
設橢圓方程為：$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{^{2}}=1$，可得$\frac{{（\sqrt{2}）}^{2}}{4}+\frac{{（\frac{\sqrt{2}}{2}）}^{2}}{^{2}}=1$，解得b²=1．
橢圓C₁的方程為：$\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}=1$．
（2）設M（x₁，y₁），N（x₂，y₂）．
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}x=my+1\\ \frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}=1\end{array}\right.$，得（m²+4）y²+2my-3=0，
∴y₁+y₂=-$\frac{2m}{{m}^{2}+4}$，y₁y₂=-$\frac{3}{{m}^{2}+4}$．
∴x₁x₂=m²y₁y₂+m（y₁+y₂）+1
=$\frac{-3{m}^{2}}{{m}^{2}+4}$+$\frac{-2{m}^{2}}{{m}^{2}+4}$+1
=$\frac{4-4{m}^{2}}{{m}^{2}+4}$．
∵$\overrightarrow{OM}⊥\overrightarrow{ON}$，∴x₁x₂+y₁y₂=0，
∴$\frac{4-4{m}^{2}}{{m}^{2}+4}$=0
解得m=±1．

點評 本題綜合考查了：橢圓與拋物線的標準方程及其性質(zhì)，把直線方程與橢圓的方程聯(lián)立得到關(guān)于y的一元二次方程得到根與系數(shù)的關(guān)系，直線的垂直與向量的數(shù)量積的關(guān)系的應用．需要較強的推理能力和計算能力．