Question

12．如圖1，在直角梯形SABC中，∠B=∠C=$\frac{π}{2}$，D為邊SC上的點(diǎn)，且AD⊥SC，現(xiàn)將△SAD沿AD折起到達(dá)PAD的位置（折起后點(diǎn)S記為P），并使得PA⊥AB．
（1）求證：PD⊥平面ABCD；
（2）已知PD=AD，PD+AD+DC=6，當(dāng)線段PB取得最小值時(shí)，請(qǐng)解答以下問(wèn)題：
①設(shè)點(diǎn)E滿足$\overrightarrow{BE}$=λ$\overrightarrow{BP}$（0≤λ≤1），則是否存在λ，使得平面EAC與平面PDC所成的銳角是$\frac{π}{3}$？若存在，求出λ；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；
②設(shè)G是AD的中點(diǎn)，則在平面PBC上是否存在點(diǎn)F，使得FG⊥平面PBC？若存在，確定點(diǎn)F的位置，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)線面垂直的判定定理即可證明PD⊥平面ABCD；
（2）建立空間坐標(biāo)系，求出平面的法向量，利用向量法進(jìn)行求解即可．

解答 證明：（1）∵PA⊥AB，AB⊥AD，PA⊥AD=A，
∴AB⊥平面PAD，
∵PD?平面PAD，
∴AB⊥PD，
∵PD⊥AD，AD∩AB=A，
∴PD⊥平面ABCD
（2）設(shè)PD=x，則AD=x，DC=6-2x，
∴PB²=x²+x²+（6-2x）²=6（x-2）²+12，當(dāng)且僅當(dāng)x=2時(shí)，PB²取得最小值，
即PB取得最小值，
以以D為原點(diǎn)，DA，DC，DP分別為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標(biāo)系D-xyz，
設(shè)PD=AD=2，
則A（2，0，0），B（2，2，0），C（0，2，0），P（0，0，2），
$\overrightarrow{CB}$=（2，0，0），$\overrightarrow{BP}$=（-2，-2，2），
$\overrightarrow{CA}$=（2，-2，0），
①存在，事實(shí)上，$\overrightarrow{CE}=\overrightarrow{CB}+\overrightarrow{BE}$=$\overrightarrow{CB}+λ\overrightarrow{BP}$=（2-2λ，-2λ，2λ），
設(shè)$\overrightarrow{n}$=（x，y，z）是平面ACE的一個(gè)法向量，
則$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{CE}=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{CA}=0}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{（2-2λ）x-2λy+2λz=0}\\{2x-2y=0}\end{array}\right.$，
取$\overrightarrow{n}$=（λ，λ，2λ-1），
則$\overrightarrow{m}$=（1，0，0）是平面PCD的一個(gè)法向量，
則cos$\frac{π}{3}$=|cos＜$\overrightarrow{m}，\overrightarrow{n}$＞|=|$\frac{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}}{|\overrightarrow{m}||\overrightarrow{n}|}$|=$\frac{|λ|}{\sqrt{2{λ}^{2}+（2λ-1）^{2}}}$=$\frac{1}{2}$，
∵00＜λ＜1，∴λ=1-$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
②設(shè)存在點(diǎn)F符合題意，而點(diǎn)F在平面PBC上，于是存在m，n使$\overrightarrow{CF}=m\overrightarrow{CB}+n\overrightarrow{CP}$，
$\overrightarrow{GF}=\overrightarrow{GC}+\overrightarrow{CF}=\overrightarrow{GC}$$+m\overrightarrow{CB}+n\overrightarrow{CP}$=（-1+2m，2-2n，2n），
注意到等腰直角三角形PDC，斜邊上的直線垂直于平面PBC，
則$\overrightarrow{{n}_{1}}$=（0，0，1）是平面PBC的一個(gè)法向量，
則$\overrightarrow{{n}_{1}}$∥$\overrightarrow{CF}$，即$\left\{\begin{array}{l}{-1+2m=0}\\{2-2n=2n}\end{array}\right.$，
解得m=n=$\frac{1}{2}$，此時(shí)點(diǎn)F（1，1，1，），
故在平面PBC上是存在PB的中點(diǎn)F，使得FG⊥平面PBC．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了線面垂直的定義和判定定理的應(yīng)用，平面向量的運(yùn)算，法向量的定義等知識(shí)．考查了學(xué)生對(duì)基礎(chǔ)知識(shí)的綜合運(yùn)用．