Question

16．如圖，記棱長(zhǎng)為1的正方體C₁，以C₁各個(gè)面的中心為頂點(diǎn)的正八面體為C₂，以C₂各面的中心為頂點(diǎn)的正方體為C₃，以C₃各個(gè)面的中心為頂點(diǎn)的正八面體為C₄，…，以此類(lèi)推得一系列的多面體C_n，設(shè)C_n的棱長(zhǎng)為a_n，則數(shù)列{a_n}的各項(xiàng)和為$\frac{6+3\sqrt{2}}{4}$．

Answer 1

分析 根據(jù)條件先求出a₂，根據(jù)條件依次求出a₃，a₄，a₅，然后利用歸納推理得到：奇數(shù)項(xiàng)與偶數(shù)項(xiàng)都是等比數(shù)列，然后求和即可．

解答 解：正方體C₁各面中心為頂點(diǎn)的凸多面體C₂為正八面體，
它的中截面（垂直平分相對(duì)頂點(diǎn)連線的界面）是正方形，
該正方形對(duì)角線長(zhǎng)等于正方體的棱長(zhǎng)，
所以它的棱長(zhǎng)a₂=$\frac{{a}_{1}}{\sqrt{2}}$=$\frac{1}{\sqrt{2}}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$；
以C₂各個(gè)面的中心為頂點(diǎn)的正方體為圖形C₃是正方體，
正方體C₃面對(duì)角線長(zhǎng)等于C₂棱長(zhǎng)的 $\frac{2}{3}$，（正三角形中心到對(duì)邊的距離等于高的 $\frac{2}{3}$），
因此對(duì)角線為 $\frac{2}{3}$×$\frac{\sqrt{2}}{2}$=$\frac{\sqrt{2}}{3}$，所以a₃=$\frac{\sqrt{2}}{3\sqrt{2}}$=$\frac{1}{3}$，
以上方式類(lèi)推，得a₄=$\frac{{a}_{3}}{\sqrt{2}}$=$\frac{\sqrt{2}}{6}$，a₅=$\frac{\frac{2}{3}{a}_{4}}{\sqrt{2}}$=$\frac{1}{9}$，…，
{a_n}各項(xiàng)依次為：1，$\frac{\sqrt{2}}{2}$，$\frac{1}{3}$，$\frac{\sqrt{2}}{6}$，$\frac{1}{9}$，…
奇數(shù)項(xiàng)是首項(xiàng)為：1，公比為$\frac{1}{3}$的等比數(shù)列，偶數(shù)項(xiàng)是首項(xiàng)為：$\frac{\sqrt{2}}{2}$，公比為$\frac{1}{3}$的等比數(shù)列，
數(shù)列{a_n}的各項(xiàng)和為：$\frac{1}{1-\frac{1}{3}}$+$\frac{\frac{\sqrt{2}}{2}}{1-\frac{1}{3}}$=$\frac{3}{2}+\frac{3\sqrt{2}}{4}$=$\frac{6+3\sqrt{2}}{4}$．
故答案為：$\frac{6+3\sqrt{2}}{4}$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查等比數(shù)列得通項(xiàng)公式，以及歸納推理的應(yīng)用，無(wú)窮等比數(shù)列各項(xiàng)和的求法，可以從中找到規(guī)律，分奇數(shù)項(xiàng)、偶數(shù)項(xiàng)討論，考查分析問(wèn)題解決問(wèn)題的能力．