Question

15．已知函數(shù)f（x）=lnx-$\frac{1}{2}$ax²+（1-a）x，其中a∈R，f（x）的導(dǎo)函數(shù)是f′（x）．
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的極值；
（Ⅱ）在曲線y=f（x）的圖象上是否存在不同的兩點(diǎn)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）（x₁≠x₂），使得直線AB的斜率k=f′（$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$）？若存在，求出x₁與x₂的關(guān)系；若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求導(dǎo)數(shù)$f′（x）=\frac{-a{x}^{2}+（1-a）x+1}{x}$，討論a的符號(hào)，這樣便可判斷導(dǎo)數(shù)的符號(hào)，從而可判斷每種情況是否存在極值，若存在便可求出該極值；
（Ⅱ）先根據(jù)條件求出斜率$k=\frac{ln\frac{{x}_{1}}{{x}_{2}}}{{x}_{1}-{x}_{2}}-\frac{a}{2}（{x}_{1}+{x}_{2}）+1-a$，而可得到$f′（\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}）=\frac{2}{{x}_{1}+{x}_{2}}-\frac{a}{2}（{x}_{1}+{x}_{2}）+1-a$，這樣便可根據(jù)條件得出$\frac{ln\frac{{x}_{1}}{{x}_{2}}}{{x}_{1}-{x}_{2}}=\frac{2}{{x}_{1}+{x}_{2}}$，然后換元$t=\frac{{x}_{1}}{{x}_{2}}$，并設(shè)x₁＞x₂，t＞1，從而得出$g（t）=lnt-\frac{2（t-1）}{t+1}=lnt+\frac{4}{t+1}-2（t＞1）$；求導(dǎo)數(shù)并可判斷導(dǎo)數(shù)符號(hào)g′（t）＞0，從而g（t）＞g（1），而g（1）=0，這即說明g（t）=0無解，從而得出滿足條件的兩點(diǎn)A，B不存在．

解答 解：（Ⅰ）由已知得，f′（x）=$\frac{1}{x}-ax+（1-a）=\frac{-a{x}^{2}+（1-a）x+1}{x}（x＞0）$
（1）當(dāng)a≤0時(shí)，∵x＞0，∴f′（x）＞0；
∴f（x）在（0，+∞）上是增函數(shù)，此時(shí)函數(shù)f（x）無極值；
（2）當(dāng)a＞0時(shí)，$f′（x）=\frac{-a{x}^{2}+（1-a）x+1}{x}=\frac{-a（x-\frac{1}{a}）（x+1）}{x}$；
∴當(dāng)x$∈（0，\frac{1}{a}）$時(shí)，g′（x）＞0；當(dāng)x$∈（\frac{1}{a}，+∞）$時(shí)，g′（x）＜0；
∴函數(shù)f（x）在$（0，\frac{1}{a}）$上是增函數(shù)，在$（\frac{1}{a}，+∞）$上是減函數(shù)；
∴當(dāng)$x=\frac{1}{a}$時(shí)，f（x）有極大值$f（\frac{1}{a}）=\frac{1}{2a}-lna-1$，無極小值；
綜上所述，當(dāng)a≤0時(shí)，函數(shù)f（x）無極值，當(dāng)a＞0時(shí)，f（x）有極大值$\frac{1}{2a}-lna-1$，無極小值．
（Ⅱ）由題意得，
$k=\frac{{y}_{1}-{y}_{2}}{{x}_{1}-{x}_{2}}$=$\frac{[ln{x}_{1}-\frac{a}{2}{{x}_{1}}^{2}+（1-a）{x}_{1}]-[ln{x}_{1}-\frac{a}{2}{{x}_{2}}^{2}+（1-a）{x}_{2}]}{{x}_{1}-{x}_{2}}$
=$\frac{ln\frac{{x}_{1}}{{x}_{2}}-\frac{a}{2}（{{x}_{1}}^{2}-{{x}_{2}}^{2}）+（1-a）（{x}_{1}-{x}_{2}）}{{x}_{1}-{x}_{2}}$=$\frac{ln\frac{{x}_{1}}{{x}_{2}}}{{x}_{1}-{x}_{2}}-\frac{a}{2}（{x}_{1}+{x}_{2}）+（1-a）$．
$f′（\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}）=\frac{2}{{x}_{1}+{x}_{2}}-\frac{a}{2}（{x}_{1}+{x}_{2}）+（1-a）$．
由$k=f′（\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}）$得，$\frac{ln\frac{{x}_{1}}{{x}_{2}}}{{x}_{1}-{x}_{2}}=\frac{2}{{x}_{1}+{x}_{2}}$；
即$ln\frac{{x}_{1}}{{x}_{2}}=\frac{2（{x}_{1}-{x}_{2}）}{{x}_{1}+{x}_{2}}$，即$ln\frac{{x}_{1}}{{x}_{2}}-\frac{2（\frac{{x}_{1}}{{x}_{2}}-1）}{\frac{{x}_{1}}{{x}_{2}}+1}=0$；
令$t=\frac{{x}_{1}}{{x}_{2}}$，不妨設(shè)x₁＞x₂，則t＞1，記$g（t）=lnt-\frac{2（t-1）}{t+1}=lnt+\frac{4}{t+1}-2（t＞1）$；
$g′（t）=\frac{1}{t}-\frac{4}{（t+1）^{2}}=\frac{（t-1）^{2}}{t（t+1）}＞0$，所以g（t）在（1，+∞）上是增函數(shù)；
所以g（t）＞g（1）=0，所以方程g（t）=0無解，則滿足條件的兩點(diǎn)A，B不存在．

點(diǎn)評(píng) 考查基本初等函數(shù)導(dǎo)數(shù)的求法，根據(jù)導(dǎo)數(shù)符號(hào)判斷函數(shù)單調(diào)性，以及求函數(shù)極值的方法，根據(jù)兩點(diǎn)坐標(biāo)求直線的斜率的計(jì)算公式，通分及公因式提取的運(yùn)用，以及換元法的運(yùn)用，根據(jù)函數(shù)單調(diào)性求值域的方法．