Question

如圖，在四棱維P-ABCD中，側面PCD⊥底面ABCD．四邊形ABCD是等腰梯形．AB∥CD．∠ADC=∠PDC=

π

4

．AB=1，AD=PD=

2

，CD=3．E是CD上一點．PE⊥CD．
（1）求證：平面PBE⊥平面PBC；
（2）設E為側棱PC上異于端點的一點，

PF

=λ

PC

，λ的值，使得二面角F-BE-P的余數(shù)為

2 2

3

．

Answer 1

考點：與二面角有關的立體幾何綜合題,平面與平面垂直的判定

專題：空間位置關系與距離,空間角

分析：（1）由已知得PE⊥底面ABCD，以E為原點建立空間直角坐標系，利用向量法能證明平面PBE⊥平面PBC．
（2）求出平面EBF的法向量，由已知條件利用向量法能求出λ=

1

5

．

解答： （1）證明：因為側面PCD⊥底面ABCD，PE⊥CD，
所以PE⊥底面ABCD…（1分）
又∠ADC=∠PDC=

π

4

，AD=PD=

2

，得DE=AE=1，…（2分）
所以AE⊥DE，以E為原點建立如圖所示的空間直角坐標系，
則A（1，0，0），B（1，1，0），C（0，2，0），P（0，0，1），…（3分）
所以

EB

=(1，1，0)，

BC

=(-1，1，0)，
所以

EB

•

BC

=0，所以BC⊥BE，…（4分）
由PE⊥底面ABCD，得PE⊥BC，
所以BC⊥平面PBE，又BC?平面PBC，
∴平面PBE⊥平面PBC…（5分）
（2）解：因為

PC

=(0，2，-1)，
又

PE

=λ

PC

，設F（x₀，y₀，z₀），
則（x₀，y₀，z₀-1）=（0，2λ，-λ），…（6分）
所以F（0，2λ，1-λ），

EF

=(0，2λ，1-λ)，…（7分）
設平面EBF的法向量為

n

=(a，b，c)，
因為

EB

=(1，1，0)，由

n

•

EB

=0，

n

•

EF

=0，
得

a+b=0 2λb+(1-λ)c=0

，…（8分）
令a=-1，則可得平面EBD的一個法向量為

n

=(-1，1，

2λ

λ-1

)，…（9分）
因為二面角F-BE-P的余弦為

2 2

3

，
所以

2 2

3

=|cos＜

n

，

BC

＞|=

2

2 • 1+1+( 2λ λ-1 )2

，…（10分）
解得λ=

1

5

或λ=-

1

3

…（11分）
又由題意知λ∈（0，1），故λ=

1

5

．…（12分）

點評：本題考查平面與平面垂直的證明，考查實數(shù)的求法，解題時要認真審題，注意向量法的合理運用．