Question

設(shè)f（x）=e^x-a（x+1）
（1）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）設(shè)g（x）=f（x）+

a

ex

，且A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）（x₁≠x₂）是曲線(xiàn)y=g（x）上任意兩點(diǎn)，若對(duì)任意的a≤-1，直線(xiàn)AB的斜率大于常數(shù)m，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,導(dǎo)數(shù)在最大值、最小值問(wèn)題中的應(yīng)用

專(zhuān)題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，討論a的取值范圍，即可求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義，構(gòu)造函數(shù)即可得到結(jié)論．

解答： 解：（1）f（x）=e^x-a（x+1）的定義域R，
則f′（x）=e^x-a，
當(dāng)a≤0時(shí)，f′（x）=e^x-a在R上恒成立，即f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為R
當(dāng)a＞0時(shí)，令f′（x）=e^x-a＞0，解得x＞lna，
令f′（x）=e^x-a＜0，解得0＜x＜lna，
所以，f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間是（lna，+∞），單調(diào)遞減區(qū)間是（0，lna），
綜上所述，當(dāng)a≤0時(shí)，f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為R
當(dāng)a＞0時(shí)，f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間是（lna，+∞），單調(diào)遞減區(qū)間是（0，lna）．
（2）不妨設(shè)x₁＜x₂，則直線(xiàn)AB的斜率k=

g(x2)-g(x1)

x2-x1

，
由已知k＞m，即k=

g(x2)-g(x1)

x2-x1

＞m，
∵x₁＜x₂，∴x₂-x₁＞0，
則不等式等價(jià)為g（x₂）-g（x₁）＞m（x₂-x₁），
即g（x₂）-mx₂＞g（x₁）-mx₁，
∵x₁＜x₂，∴函數(shù)h（x）=g（x）-mx在R上為增函數(shù)，
故h′（x）=g′（x）-m≥0恒成立，
則m≤g′（x），
而g′（x）=e^x-a-

a

ex

，
∵a≤-1＜0，故由基本不等式得g′（x）=e^x-a-

a

ex

═e^x+（-

a

ex

）-a≥2

ex• -a ex

-a=2

-a

-a，
而2

-a

-a=2

-a

+(

-a

)2=(

-a

+1)2-1≥3，
故實(shí)數(shù)m的取值范圍時(shí)（-∞，3]．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查函數(shù)單調(diào)性和單調(diào)區(qū)間的求解以及導(dǎo)數(shù)幾何意義的應(yīng)用，考查學(xué)生的運(yùn)算能力．綜合性較強(qiáng)．