Question

3．規(guī)定記號(hào)“△”表示一種運(yùn)算，即a△b=$\sqrt{ab}$+a+b，a、b∈R⁺．若l△k=3，則函數(shù)f（x）=k△x的定義域是（0，+∞），值域是（1，+∞）．

Answer 1

分析 根據(jù)“△”運(yùn)算的定義，由1△k=3便可求出k=1，從而得出f（x）=$\sqrt{x}+x+1$，從而便可得出f（x）的定義域?yàn)椋?，+∞），這樣便可由x＞0得出f（x）的范圍，即得出f（x）的值域．

解答 解：根據(jù)條件，$1△k=\sqrt{1•k}+1+k=3$；
∴$\sqrt{k}=-k+2$；
∴k=k²-4k+4；
解得k=1，或4（舍去）；
∴$f（x）=1△x=\sqrt{x}+x+1$；
∴f（x）的定義域?yàn)椋?，+∞）；
∵x＞0；
∴$\sqrt{x}＞0$；
∴$\sqrt{x}+x+1＞1$；
即f（x）＞1；
∴f（x）的值域?yàn)椋?，+∞）．
故答案為：（0，+∞），（1，+∞）．

點(diǎn)評(píng) 考查對(duì)“△”運(yùn)算的理解和運(yùn)用，函數(shù)定義域和值域的概念，以及根據(jù)不等式的性質(zhì)求函數(shù)值域的方法．