Question

15．已知函數(shù)f（x）=ax³-3x²+4，若f（x）存在唯一的零點(diǎn)x₀，且x₀＞0，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為a＜-1．

Answer 1

分析 函數(shù)的零點(diǎn)就是對(duì)應(yīng)方程的根，先判斷當(dāng)a=0時(shí)對(duì)應(yīng)方程根的個(gè)數(shù)，再討論當(dāng)a不等于0時(shí)的根的情況，此時(shí)只需利用導(dǎo)數(shù)研究該函數(shù)的極值，利用極值的符號(hào)解決問(wèn)題．

解答 解：原函數(shù)的零點(diǎn)即為ax³-3x²+4=0的根．
當(dāng)a=0時(shí)，原方程化為3x²-4=0，解得$x=±\frac{2}{\sqrt{3}}$，不符合題意，故a≠0；
當(dāng)a≠0時(shí)，f′（x）=3ax²-6x，令f′（x）=0，解得x=0或x=$\frac{2}{a}$．
①若a＞0，則x=0是極大值點(diǎn)，x=$\frac{2}{a}$是極小值點(diǎn)，此時(shí)若函數(shù)只有一個(gè)正的零點(diǎn)，則必有f（0）=4＜0，顯然不成立；
②若a＜0，則x=0是極大值點(diǎn)，此時(shí)若函數(shù)只有一個(gè)正的零點(diǎn)，只需f（0）=4＞0，且$f（\frac{2}{a}）=a•\frac{8}{{a}^{3}}-3•\frac{4}{{a}^{2}}+4＞0$，
解得a＜-1．
綜上可知，a＜-1即為所求．
故答案為a＜-1．

點(diǎn)評(píng) 函數(shù)的零點(diǎn)即為對(duì)應(yīng)方程的根，也是函數(shù)的圖象與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，依此可以將問(wèn)題適當(dāng)?shù)倪M(jìn)行轉(zhuǎn)化，即此問(wèn)題最終轉(zhuǎn)化為函數(shù)圖象與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，通過(guò)研究單調(diào)性、極值的符號(hào)解決問(wèn)題．