Question

17．若實(shí)數(shù)a使得方程$2cos（{2x+\frac{π}{4}}）=a$在$[-\frac{π}{8}，\frac{7π}{8}]$有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根x₁，x₂，則sin（x₁+x₂）=（　�。�

• A． 0
• B． 1
• C． $\frac{1}{2}$
• D． $\frac{{\sqrt{2}}}{2}$

Answer 1

分析 由題意可得，故函數(shù)y=2cos（2x+$\frac{π}{4}$）的圖象在$[-\frac{π}{8}，\frac{7π}{8}]$上的一條對(duì)稱軸為直線x=$\frac{3π}{8}$，可得x₁+x₂=$\frac{3π}{4}$，從而求得sin（x₁+x₂）的值．

解答 解：當(dāng)x∈[-$\frac{π}{8}$，$\frac{7π}{8}$]時(shí)，2x+$\frac{π}{4}$∈[0，2π]，顯然，當(dāng)2x+$\frac{π}{4}$=π，即x=$\frac{3π}{8}$時(shí)，函數(shù)y=2cos（2x+$\frac{π}{4}$）取得最小值，
故函數(shù)y=2cos（2x+$\frac{π}{4}$）的圖象關(guān)于直線x=$\frac{3π}{8}$對(duì)稱．
∵實(shí)數(shù)a使得方程$2cos（{2x+\frac{π}{4}}）=a$在$[-\frac{π}{8}，\frac{7π}{8}]$有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根x₁，x₂，
∴直線y=a和函數(shù)y=2cos（2x+$\frac{π}{4}$）的圖象在$[-\frac{π}{8}，\frac{7π}{8}]$有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，故有 x₁+x₂=2×$\frac{3π}{8}$=$\frac{3π}{4}$，
∴sin（x₁+x₂）=sin$\frac{3π}{4}$=sin$\frac{π}{4}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
故選：D．

點(diǎn)評(píng) 本題主要余弦函數(shù)的圖象的對(duì)稱性，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題．