Question

8．設(shè)x，y滿足約束條件$\left\{\begin{array}{l}x≥0\\ y≥x\\ 4x+3y≤12\end{array}\right.$，則$\frac{x+2y+3}{x+1}$的取值范圍是（　�。�

• A． [1，5]
• B． [2，6]
• C． [2，10]
• D． [3，11]

Answer 1

分析 $\frac{x+2y+3}{x+1}$=$\frac{x+1+2（y+1）}{x+1}$=1+2×$\frac{y+1}{x+1}$，設(shè)k=$\frac{y+1}{x+1}$，利用z的幾何意義進行求解即可．

解答 解：作出不等式組對應(yīng)的平面區(qū)域如圖：其中A（0，4），B（3，0）
$\frac{x+2y+3}{x+1}$=$\frac{x+1+2（y+1）}{x+1}$=1+2×$\frac{y+1}{x+1}$，
設(shè)k=$\frac{y+1}{x+1}$，則k=$\frac{y+1}{x+1}$的幾何意義為平面區(qū)域內(nèi)的點到定點D（-1，-1）的斜率，
由圖象知BD的斜率最小，AD的斜率最大，
則BD的斜率k=1，AD的斜率為k=$\frac{4+1}{0+1}=5$，
即1≤k≤5，
則2≤2k≤10，
3≤1+2k≤11，
即$\frac{x+2y+3}{x+1}$的取值范圍是[3，11]，
故選：D

點評 本題主要考查線性規(guī)劃以及斜率的應(yīng)用，利用z的幾何意義結(jié)合分式的性質(zhì)，利用數(shù)形結(jié)合是解決本題的關(guān)鍵．