Question

17．已知拋物線C的頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)為F（1，0），過焦點(diǎn)F的直線l與拋物線C相交于A、B兩點(diǎn)，若直線l的傾斜角為45°，則弦AB的中點(diǎn)坐標(biāo)為（3，2）．

Answer 1

分析 根據(jù)題意確定出拋物線C解析式，以及直線l解析式，聯(lián)立兩解析式消去y得到關(guān)于x的一元二次方程，設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），利用韋達(dá)定理求出x₁+x₂=6，進(jìn)而確定出弦AB中點(diǎn)橫坐標(biāo)，即可確定出弦AB中點(diǎn)坐標(biāo)．

解答 解：根據(jù)題意得：拋物線C解析式為y²=4x，
∵過焦點(diǎn)F的直線l與拋物線C相交于A、B兩點(diǎn)，直線l的傾斜角為45°，
∴直線l解析式為y=x-1，
聯(lián)立得：$\left\{\begin{array}{l}{{y}^{2}=4x}\\{y=x-1}\end{array}\right.$，
消去y得：（x-1）²=4x，即x²-6x+1=0，
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
則有x₁+x₂=6，即弦AB中點(diǎn)橫坐標(biāo)為3，
把x=3代入y=x-1得：y=2，
則弦AB中點(diǎn)坐標(biāo)為（3，2），
故答案為：（3，2）．

點(diǎn)評(píng) 此題考查了直線與圓錐曲線的關(guān)系，韋達(dá)定理，線段中點(diǎn)坐標(biāo)公式，確定出拋物線與直線解析式是解本題的關(guān)鍵．