Question

8．已知sinβ+cosβ=$\frac{1}{5}$，且0＜β＜π．
（1）求sinβcosβ、sinβ-cosβ的值；
（2）求sinβ、cosβ、tanβ的值．

Answer 1

分析 （1）把已知等式兩邊平方，利用完全平方公式化簡(jiǎn)，整理求出sinβcosβ的值，再利用完全平方公式求出sinβ-cosβ的值即可；
（2）聯(lián)立sinβ+cosβ與sinβ-cosβ的值，求出sinβ與cosβ，即可確定出tanβ的值．

解答 解：（1）把sinβ+cosβ=$\frac{1}{5}$①，兩邊平方得：（sinβ+cosβ）²=1+2sinβcosβ=$\frac{1}{25}$，
∴sinβcosβ=-$\frac{12}{25}$＜0，（sinβ-cosβ）²=1-2sinβcosβ=$\frac{49}{25}$，
∵0＜β＜π，
∴$\frac{π}{2}$＜β＜π，即sinβ-cosβ＞0，
則sinβ-cosβ=$\frac{7}{5}$②；
（2）聯(lián)立①②解得：sinβ=$\frac{4}{5}$，cosβ=-$\frac{3}{5}$，
則tanβ=-$\frac{4}{3}$．

點(diǎn)評(píng) 此題考查了同角三角函數(shù)基本關(guān)系的運(yùn)用，以及完全平方公式的運(yùn)用，熟練掌握基本關(guān)系是解本題的關(guān)鍵．