Question

20．如圖，正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，O為底面ABCD的中心，M為棱BB₁的中點，則下列結論中正確的是（　�。� 
①D₁O∥平面A₁BC₁
②D₁O⊥平面MAC
③BC₁異面直線與AC所成的角等于60°
④二面角M-AC-B等于60°．

• A． ①②
• B． ①②③
• C． ②③
• D． ②③④

Answer 1

分析 對于①，連接B₁D₁，交A₁C₁于E，則D₁O∥BE，利用線面平行的判定定理，可得D₁O∥平面A₁BC₁；
對于②，連接C₁D，O為底面ABCD的中心，M為棱BB₁的中點，則MO∥B₁D，根據(jù)B₁D⊥平面A₁BC₁，可得MO⊥平面A₁BC₁；
對于③，根據(jù)AC∥A₁C₁，可得∠A₁C₁B為異面直線BC₁與AC所成的角所成的角；
對于④，因為BO⊥AC，MO⊥AC，所以∠MOB為二面角M-AC-B的平面角

解答 解：對于①，連接B₁D₁，BO，交A₁C₁于E，則四邊形D₁OBE為平行四邊形，所以D₁O∥BE，因為D₁O?平面A₁BC₁，BE?平面A₁BC₁，所以D₁O∥平面A₁BC₁，故正確；
對于②，連接C₁D，∵O為底面ABCD的中心，即有AC⊥BD，易得AC⊥平面BDD₁B₁，
即有AC⊥D₁O，由tan∠D₁OD•tan∠MOB=$\sqrt{2}$•$\frac{\sqrt{2}}{2}$=1，即有D₁O⊥MO，
可得D₁O⊥平面MAC，②正確；
對于③，∵AC∥A₁C₁，∴∠A₁C₁B為異面直線BC₁與AC所成的角所成的角，∵△A₁C₁B為等邊三角形，∴∠A₁C₁B=60°，故正確；
對于④，因為BO⊥AC，MO⊥AC，∴∠MOB為二面角M-AC-B的平面角，顯然不等于60°，故不正確；
故選B．

點評 本題考查線面平行，線面垂直，考查線線角，面面角，掌握線面平行、垂直的判定定理是關鍵