Question

14．若f（x）為二次函數，-1和3是方程f（x）-x-4=0的兩根，f（0）=1
（1）求f（x）的解析式；
（2）若在區(qū)間[-1，1]上，不等式f（x）＞2x+m有解，求實數m的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）設二次函數f（x）=ax²+bx+c，（a≠0），由題意和韋達定理待定系數可得；
（2）問題轉化為m＜x²-3x+1在區(qū)間[-1，1]上有解，只需m小于函數g（x）=x²-3x+1在區(qū)間[-1，1]上的最大值，由二次函數區(qū)間的最值可得．

解答 解：（1）設二次函數f（x）=ax²+bx+c，（a≠0），
由f（0）=1可得c=1，
故方程f（x）-x-4=0可化為ax²+（b-1）x-3=0，
∵-1和3是方程f（x）-x-4=0的兩根，
∴由韋達定理可得-1+3=-$\frac{b-1}{a}$，-1×3=$\frac{-3}{a}$，
解得a=1，b=-1，故f（x）的解析式為f（x）=x²-x+1；
（2）∵在區(qū)間[-1，1]上，不等式f（x）＞2x+m有解，
∴m＜x²-3x+1在區(qū)間[-1，1]上有解，
故只需m小于函數g（x）=x²-3x+1在區(qū)間[-1，1]上的最大值，
由二次函數可知當x=-1時，函數g（x）取最大值5，
∴實數m的取值范圍為（-∞，5）

點評 本題考查函數解析式求解的方法，涉及韋達定理和二次函數區(qū)間的最值，屬中檔題．