Question

已知函數(shù)f（x）=

x2+x+1，x≥0 2x+1，x＜0

．若f（sinα+sinβ+sin36°-1）=-1，f（cosα+cosβ+cos36°+1）=3，則cos（α-β）=（　　）

• A、

  1

  2

• B、2
• C、-

  1

  2

• D、-2

Answer 1

考點(diǎn)：兩角和與差的余弦函數(shù),分段函數(shù)的應(yīng)用

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用,三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

分析：根據(jù)題意，先判定x≥0時(shí)f（x）≥1，x＜0時(shí)f（x）＜1，并由此求出sinα、sinβ、sin36°以及cosα、cosβ、cos36°的關(guān)系式，從而求出cos（α-β）的值．

解答： 解：∵f（x）=

x2+x+1，x≥0 2x+1，x＜0

，
∴x≥0時(shí)，x²+x+1≥1，
x＜0時(shí)，2x+1＜1；
又∵f（sinα+sinβ+sin36°-1）=-1，f（cosα+cosβ+cos36°+1）=3，
∴2（sinα+sinβ+sin36°-1）+1=-1，
即sinα+sinβ=-sin36°；    ①
（cosα+cosβ+sin36°+1）²+（cosα+cosβ+cos36°+1）+1=3，
得cosα+cosβ+cos36°+1=1，
即cosα+cosβ=-cos36°；  ②
∴①²+②²得，
2+2sinαsinβ+2cosαcosβ=1，
∴cosαcosβ+sinαsinβ=-

1

2

，
即cos（α-β）=-

1

2

．
故選：C．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了分段函數(shù)的應(yīng)用以及三角恒等變換的應(yīng)用問題，解題的關(guān)鍵是求出sinα、sinβ、sin36°以及cosα、cosβ、cos36°的關(guān)系式，是綜合題．