Question

11．在直角坐標系xOy中，直線l的參數(shù)方程是$\left\{\begin{array}{l}{x=1+\frac{\sqrt{2}}{2}t}\\{y=1+\frac{\sqrt{2}}{2}t}\end{array}\right.$（t是參數(shù)），以坐標原點為極點，x軸的正半軸為極軸，建立極坐標系，曲線C的極坐標方程為ρ=4cosθ．
（Ⅰ）寫出直線l的普通方程和曲線C的直角坐標方程；
（Ⅱ）設點P的直角坐標為（1，1），直線l與曲線C的交點為A，B，求|PA|•|PB|的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根據(jù)直線的參數(shù)方程即可求得普通方程，曲線C的極坐標方程求得曲線C的直角坐標方程；
（Ⅱ）求得A和B點坐標，代入圓的方程，即可根據(jù)韋達定理即可求得t₁t₂=-2，則|PA|•|PB|=丨t₁t₂丨．

解答 解：（Ⅰ）直線l的普通方程為x-y=0，由ρ=4cosθ，則ρ²=4ρcosθ，即x²+y²-4x=0，
故曲線C的直角坐標方程x²+y²-4x=0，
（Ⅱ）由點A，B都在直線l上，則設它們對應的參數(shù)分別為t₁，t₂，
則點A，B的坐標為A（1+$\frac{\sqrt{2}}{2}$t₁，1+$\frac{\sqrt{2}}{2}$t₁），B（1+$\frac{\sqrt{2}}{2}$t₂，1+$\frac{\sqrt{2}}{2}$t₂），
將直線l的參數(shù)方程代入圓方程為x²+y²-4x=0，
整理得t²-2=0，①
由t₁，t₂分別是方程①的解，從而t₁t₂=-2，
故|PA|•|PB|=丨t₁t₂丨=2，
|PA|•|PB|的值2．

點評 本題考查了參數(shù)方程化為普通方程、極坐標方程的應用，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．