Question

如圖，在直三棱柱中，，，分別為，的中點，四邊形是邊長為的正方形．

（Ⅰ）求證：∥平面；

（Ⅱ）求證：平面；

（Ⅲ）求二面角的余弦值．

 

 

 

Answer 1

【答案】

（Ⅰ）證明：連結(jié)，與交于點，連結(jié)．因為，分別為和的中點，所以∥．又平面，平面，

所以∥平面．             ……………………4分

（Ⅱ）證明：在直三棱柱中，平面，又平面，所以．因為，為中點，所以．又，

所以平面．又平面，所以．

因為四邊形為正方形，，分別為，的中點，

所以△≌△，． 所以．

所以．

又，所以平面．                ……………………8分

 

（Ⅲ）解：如圖，以的中點為原點，建立空間直角坐標(biāo)系．

則．

由（Ⅱ）知平面，所以為平面的一個法向量．

設(shè)為平面的一個法向量，

，．

由可得

令，則．

所以．

從而．

 

因為二面角為銳角，

所以二面角的余弦值為．………12分

【解析】略