Question

在△ABC中，角A、B、C所對的邊分別為a、b、c，

m

=（2a-c，-b），

n

=（cosB，cosC），且

m

⊥

n

．
（1）求B的大�。�
（2）若a=3，b=

19

，求△ABC的面積．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)量積判斷兩個(gè)平面向量的垂直關(guān)系

專題：平面向量及應(yīng)用

分析：（1）由

m

⊥

n

，可得

m

•

n

=（2a-c）cosB-bcosC=0，再利用正弦定理可得：

a

sinA

=

b

sinB

=

c

sinC

=k＞0，利用兩角和差的正弦公式、誘導(dǎo)公式、三角形的內(nèi)角和定理即可得出；
（2）利用余弦定理和三角形的面積計(jì)算公式即可得出．

解答： 解：（1）∵

m

⊥

n

，∴

m

•

n

=（2a-c）cosB-bcosC=0，
由正弦定理可得：

a

sinA

=

b

sinB

=

c

sinC

=k＞0，
∴（2sinA-sinC）cosB-sinBcosC=0，
化為2sinAcosB=sinCcosB+cosCsinB=sin（B+C）=sinA，
∴cosB=

1

2

，B∈（0，π）．
∴B=

π

3

．
（2）由余弦定理可得b²=a²+c²-2accosB，
∴19=9+c²-6ccos

π

3

，
化為c²-3c-10=0，解得c=5．
∴△ABC的面積S=

1

2

acsinB=

1

2

×3×5×sin

π

3

=

15 3

4

．

點(diǎn)評：本題考查了向量垂直于數(shù)量積的關(guān)系、正弦余弦定理、兩角和差的正弦公式、誘導(dǎo)公式、三角形的內(nèi)角和定理、三角形的面積計(jì)算公式等基礎(chǔ)知識(shí)與基本技能方法，考查了推理能力和計(jì)算能力，屬于中檔題．